Задача: как далеко мог стрелять Робин Гуд стрелой весом 0,1 кг при условии, что его лук позволял выпускать стрелу с начальной скоростью 50м/с.
1. Максимальная высота
Начальная скорость стрелы равна:
V=50 м/с.
Ускорение равно ускорению свободного падения:
a = g = 9,8 м/с2
В максимально высокой точке стрела остановится и начнет движение вниз:
V1 = 0
Находим расстояние (высоту) полета стрелы:
V12 - V02 = 2as
s = (-V02)/2g = (-502)/2·9,8 = 127,5 м
Максимальная высота полета стрелы Робин Гуда составила
127,5 метров - совсем неплохо!
Время подъема стрелы
А за какое время стрела достигнет верхней точки полета?
Для вычисления воспользуемся формулой:
s = 1/2·a·t2
t = √2s/g = √2·127,5/9,8 = 5,1 с
Время подъема стрелы на максимальную высоту составляет 5,1 секунды.
Можно пойти и другим путем. В точке максимального подъема скорость стрелы равна нулю. Воспользуемся следующим уравнением:
V1 = V0 +at; V
1=0; a=g
0 = V0 - gt; t = V0/g = 50/9,8 = 5,1 с
Общее время полета стрелы займет времени ровно в два раза больше, поскольку обратный путь вниз симметричен прямому пути вверх.
2. Максимальная дальность стрельбы
Движение под углом необходимо разбить на составляющие по осям X и Y. В нашем случае сила тяжести действует только вдоль оси Y.
Составляющие для начальной скорости:
Vx = V0cosα; Vy = V0sinα
Эти составляющие независимы и сила тяжести действует только по оси Y.
Составляющая
Vx постоянна.
Составляющая
Vy:
Vy = V0sinα - gt
Координаты стрелы в любой момент времени по осям:
- Ось X: x = Vxt = (V0cosα)t
- Ось Y: y = Vyt - 1/2·gt2
Общее время полета стрелы по вертикали
t = 2Vy/g
Можем узнать дальность полета стрелы по оси Х:
s = Vxt = 2VxVy/g = 2V02sinαcosα/g
Из формулы видно, что для определения дальности полета стрелы необходимо знать начальную скорость стрелы и угол выстрела.
Оптимальным для дальности стрельбы является угол в 45°.
Действительно:
2sinαcosα = sin2α = max = 1 при sin90°, т.е., при
α=45°
Дальность стрельбы Робин Гуда:
s = V02sin2α/g = 502·1/9,8 = 255 м
