ГлавнаяФизикаЭнергия и работа при вращательном движении

Физика - это просто!

МЕХАНИКА
· Измерения. Системы измерений
· Перемещение
· Скорость
· Ускорение
· Нестандартные связи
· Векторы
· S, V, a - векторные величины
· Первый закон Ньютона
· Второй закон Ньютона
· Третий закон Ньютона
· Гравитация
· Трение
· Свободное падение
· Вращательное движение
· Закон всемирного тяготения
· Работа
· Энергия
· Импульс
· Закон сохранения импульса
· Измерение скорости с помощью ЗСИ
· Параметры вращательного движения
· Вращательное движение и векторы
· Момент силы
· Условие равновесного состояния
· Вращательное движение и 2 закон Ньютона
· Момент инерции протяженного объекта
· Энергия и работа при вращательном движении
· Момент импульса
· Закон Гука
· Простое гармоническое движение
· Энергия гармонического движения
· Маятниковое движение
ТЕРМОДИНАМИКА
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Онлайн тесты по ЕГЭ

Энергия и работа при вращательном движении


Формула вычисления работы для поступательного прямолинейного движения имеет вид: W = F·s (Н·м) или (Дж).

Для того, чтобы вывести аналогичную формулу для вращательного движения, необходимо силу F преобразовать в момент силы M, а перемещение s, в угол Θ

Пусть для вращения колеса, радиусом r, прикладывается сила F, как показано на рисунке ниже.

Работа при вращательном движении

Чему будет равна работа этой силы?

Для вычисления работы применим формулу:

W = F·s

При вращательном движении перемещение s будет равно произведению радиуса колеса r на его угол поворота Θ:

s = r·Θ
W = F·s = F·r·Θ

Момент М, создаваемой силой F, вычисляется по формуле:

M = F·r

Таким образом, работа будет равна:

W = F·r·Θ = M·Θ Дж

Мы получили формулу вычисления работы для вращательного движения (угол поворота должен быть указан в радианах) - это произведение момента силы на угол поворота.

Вычислим работу, которую совершит колесо автомобиля после 10 оборотов, при условии, что к нему был приложен постоянный момент силы в 100 Н·м:

W = 100·10·2π = 6,28·103 Дж

Кинетическая энергия вращательного движения

Кинетическая энергия объекта, массой m, движущегося поступательно со скоростью v, вычисляется по формуле: K = 1/2·(m·V2).

Для получения формулы вычисления кинетической энергии для вращательного движения необходимо заменить массу тела m на момент инерции I, а скорость v на угловую скорость ω.

Формула связи тангенциальной скорости v и угловой скорости ω выглядит следующим образом (подробнее смотри "Параметры вращательного движения"):

v = r·ω

Подставим это соотношение в предыдущую формулу:

K = 1/2·m(r·ω)2

Следует сказать, что данная формула расчета кинетической энергии подходит только для материальной точки.

Формула для вычисления кинетической энергии протяженного объекта будет выглядеть следующим образом:

K = 1/2·Σm(r·ω)2
В случае, если все материальные точки протяженного объекта вращаются с одинаковой угловой скоростью, ее можно вынести за знак суммирования:
K = 1/2·ω2Σm·r2

Вспомним формулу момента инерции, и сделаем подстановку:

I = Σm·r2
K = 1/2·ω2Σm·r2
K = 1/2·ω2·I

Закрепим полученные теоретические знания на практике, решив интересную задачу.

Предположим, что по наклонной плоскости скатываются два цилиндра одинаковой массы - полый и цельный. Выясним, какой из этих цилиндров скатится быстрее, т.е. будет иметь бОльшую скорость в конце наклонной плоскости.

Кинетическая энергия при вращательном движении

Решая задачи подобного типа, надо понимать, что, если бы цилиндры просто скользили вниз по наклонной плоскости без вращения, то их потенциальная энергия превращалась бы в кинетическую энергию поступательного движения:

m·g·h = 1/2·m·v2

В нашем случае, потенциальная энергия цилиндров превращается в кинетическую энергию, как поступательного, так и вращательного движения:

m·g·h = 1/2·m·v2 + 1/2·I·ω2

Поскольку угловая скорость вычисляется по формуле ω=v/r, получим следующее равенство, и выведем формулу для вычисления скорости движения цилиндров:

mgh = 1/2mv2 + 1/2I(v/r)2 = 1/2v2(m+I/r2)
v = √[(2mgh)/(m+I/r2)]

Для обоих цилиндров все параметры в формуле одинаковы, за исключением момента инерции I (подробнее смотри "Момент инерции протяженного объекта"):

Подставляем соответствующие значения для момента инерции в формулу вычисления скорости цилиндров, и проводим несложные алгебраические преобразования:

vп = √[(2mgh)/(m+(mr2)/r2)] = √[gh]
vц = √[(2mgh)/(m+(1/2mr2)/r2)] = √[4gh/3]
Соотношение скоростей цилиндров будет равно:
vп/vц = √[3/4] = 0,86

Таким образом, скорость полого цилиндра будет немного ниже, чем цельного, следовательно, цельный цилиндр быстрее скатится по наклонной плоскости.

С физической точки зрения данный факт объясняется достаточно просто. В полом цилиндре основная масса материальных точек сосредоточена на краю цилиндра (на расстоянии радиуса от его центра), в то время, как в цельном цилиндре материальные точки распределены равномерно по всему радиусу, т.е., при одинаковой угловой скорости в полом цилиндре количество материальных точек, обладающих высокой тангенциальной скоростью, будет больше, чем в цельном, поэтому, полому цилиндру понадобится потратить больше энергии на свой разгон.



В начало страницы