Какие дроби называют рациональными
Дробь, числитель и знаменатель которой представлены многочленами, называется рациональной.
Так как натуральные числа также являются многочленами, то обыкновенные дроби являются частным случаем рациональных дробей.
По этой причине все сказанное ранее для обыкновенных дробей, будет справедливо и для рациональных дробей.
Поскольку знаменатель дроби является многочленом, в который могут входить переменные, то не при всяких значениях переменных дробь будет иметь смысл, поскольку делить на ноль нельзя.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, принято называть допустимыми значениями переменных.
Например, в рациональной дроби
A2/B(10-A)
допустимыми значениями переменных будут все числа за исключением А=10 и В=0, поскольку при этих значениях знаменатель дроби становится равным нулю.
Основное свойство рациональной дроби аналогично таковому у дробей обыкновенных: умножая числитель и знаменатель дроби на одно и то же число (многочлен), получаем дробь, тождественную исходной.
Специально не оговаривается тот факт, что выражение, на которое проводится умножение числителя и знаменателя, должно быть отлично от нуля.
При выполнении разнообразных действий с рациональными дробями, широко пользуются формулами распределительного свойства умножения относительно сложения, разности квадратов, квадратов суммы и разности, суммы и разности кубов:
(A+B)m = Am + Bm (A+B)(A-B) = A2 - B2 (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 (A-B)2 = A2 - 2AB + B2 A3+B3 = (A+B)(A2-AB+B2) A3-B3 = (A-B)(A2+AB+B2)
В качестве примера выполним сокращение рациональной дроби следующего вида:
(4A2+20AB)/(12A2+32AB) 4A(A+5B)/4A(3A+8B) (A+5B)/(3A+8B)
