ГлавнаяМатематикаАлгебраические выражения ⇒ Раскрытие скобок

Математика - это просто!

УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
· Алгебраические равенства
· Работа со скобками
· Уравнение с одним неизвестным
· Тождества
· Линейное уравнение
· Система из 2 уравнений
· Квадратное уравнение
· Теорема Виета
· Биквадратное уравнение
· Примеры решения задач
· Уравнение вида sin(x)=y
· Уравнение вида cos(x)=y
· Уравнение вида tg(x)=y; ctg(x)=y
· Показательные уравнения
· Логарифмические уравнения
НЕРАВЕНСТВА
· Числовые неравенства
· Сложение и умножение
· Решение неравенств
· Числовые промежутки
· Модуль числа
· Квадратные неравенства
· Тригонометрические неравенства
· Показательные неравенства
· Логарифмические неравенства
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ

Онлайн тесты по ЕГЭ

Правила раскрытия скобок


Скобки достаточно часто используются в алгебраических выражениях, с их помощью устанавливается приоритет математических (логических) операций - скобки определяют в какой очередности будут производиться вычисления.

Если в алгебраическом выражении присутствуют скобки, то в первую очередь выполняются действия, заключенные в скобки.

3·(5+2) = 3·7 = 21
3·5+2 = 15+2 = 17

Для упрощения алгебраических выражений зачастую необходимо произвести раскрытие скобок или же, наоборот, заключение в скобки.

Слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть или же вовсе ее не имеющие, называются подобными слагаемыми:

3b+2a·(9-11b)-5a·7b+11

Подобными слагаемыми в вышеприведенном выражении являются:

С подобными слагаемыми можно проводить математические операции:

3b+2b = 5b
5a-4a = a
2c·3c = 6c

Действия по упрощению выражений, содержащих подобные слагаемые, называются приведением подобных слагаемых.

В основе правил раскрытия скобок лежит распределительное свойство умножения относительно сложения, которое звучит следующим образом - для того, чтобы умножить сумму на число, надо умножить на это число все слагаемые, после чего произвести суммирование всех полученных произведений.

3(А+В+С) = 3А+3В+3С

Для облегчения раскрытия скобок рекомендуется провести следующие действия:

  1. заменить все разности суммами: А-В = А+(-В);
  2. если перед скобкой стоит знак "минус", записать его, как множитель (-1);
  3. если перед скобкой стоит знак "плюс", или не стоит никакого знака, записать множитель (+1);
  4. применить распределительный закон умножения относительно сложения, учитывая, что он выполняется для любого количества слагаемых;
  5. если есть возможность, упростить полученное выражение путем приведения подобных слагаемых.

В качестве примера раскроем скобки в следующем выражении:

-(5А-2,5В+3С) - 3А(-5В-С) + (4В-8С)

Выполняем первый шаг, заключающийся в замене всех разностей суммами, при этом отрицательные члены выражения будем заключать в квадратные скобки для наглядности:

-(5А+[-2,5В]+3С) + [-3А](-5В+[-С]) + (4В+[-8С])

На втором этапе раскрытия скобок ставим перед скобками множители (-1) или (+1):

(-1)(5А+[-2,5В]+3С) + [-3А](-5В+[-С]) + (+1)(4В+[-8С])

Обратите внимание, что перед скобкой (-5В-С) стоит множитель (-3А), поэтому, перед этой скобкой не ставится ни (-1), ни (+1).

Переходим к третьему этапу, собственно процессу раскрытия скобок, в основе которого лежит распределительный закон. Для удобства восприятия информации, будем каждое слагаемое записывать в отдельную строку (строки 2,3,4), после чего сведем все вместе (строка 5):

(-1)(5А+[-2,5В]+3С) + [-3А](-5В+[-С]) + (+1)(4В+[-8С]) 

(-1)(5А+[-2,5В]+3С) = (-1)(5А) + (-1)(-2,5В) + (-1)(3С) = -5А + (+2,5В) + (-3С) = -5А + 2,5В - 3С

[-3А](-5В+[-С]) = (-3А)(-5В) + (-3А)(-С) = 15АВ + 3АС

(+1)(4В+[-8С]) = (+1)(4В) + (+1)(-8С) = 4В + (-8С) = 4В - 8С

-(5А-2,5В+3С) - 3А(-5В-С) + (4В-8С) = -5А+2,5В-3С+15АВ+3АС+4В-8С

Выполним действие по приведению подобных слагаемых, предварительно их сгруппировав, воспользовавшись переместительным законом сложения:

-5А+2,5В-3С+15АВ+3АС+4В-8С = -5А+2,5В+4В-3С-8С+15АВ+3АС = -5А+6,5В-11С+15АВ+3АС

Заключение в скобки

В некоторых случаях бывает удобно заключить некоторые слагаемые в скобки. В таких случваях следует соблюдать два правила:
3А+2В+5АВ-3С+4ВС
(3А+2В)+5АВ-(3С-4ВС)
(3А+2В+5АВ)+(-3С+4ВС)
В начало страницы