Правила раскрытия скобок
Скобки достаточно часто используются в алгебраических выражениях, с их помощью устанавливается приоритет математических (логических) операций - скобки определяют в какой очередности будут производиться вычисления.
Если в алгебраическом выражении присутствуют скобки, то в первую очередь выполняются действия, заключенные в скобки.
3·(5+2) = 3·7 = 21 3·5+2 = 15+2 = 17
Для упрощения алгебраических выражений зачастую необходимо произвести раскрытие скобок или же, наоборот, заключение в скобки.
Слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть или же вовсе ее не имеющие, называются подобными слагаемыми:
3b+2a·(9-11b)-5a·7b+11
Подобными слагаемыми в вышеприведенном выражении являются:
- 3b, 11b, 7b;
- 2a, 5a;
- 9, 11.
С подобными слагаемыми можно проводить математические операции:
3b+2b = 5b 5a-4a = a 2c·3c = 6c
Действия по упрощению выражений, содержащих подобные слагаемые, называются приведением подобных слагаемых.
В основе правил раскрытия скобок лежит распределительное свойство умножения относительно сложения, которое звучит следующим образом - для того, чтобы умножить сумму на число, надо умножить на это число все слагаемые, после чего произвести суммирование всех полученных произведений.
3(А+В+С) = 3А+3В+3С
Для облегчения раскрытия скобок рекомендуется провести следующие действия:
- заменить все разности суммами: А-В = А+(-В);
- если перед скобкой стоит знак "минус", записать его, как множитель (-1);
- если перед скобкой стоит знак "плюс", или не стоит никакого знака, записать множитель (+1);
- применить распределительный закон умножения относительно сложения, учитывая, что он выполняется для любого количества слагаемых;
- если есть возможность, упростить полученное выражение путем приведения подобных слагаемых.
В качестве примера раскроем скобки в следующем выражении:
-(5А-2,5В+3С) - 3А(-5В-С) + (4В-8С)
Выполняем первый шаг, заключающийся в замене всех разностей суммами, при этом отрицательные члены выражения будем заключать в квадратные скобки для наглядности:
-(5А+[-2,5В]+3С) + [-3А](-5В+[-С]) + (4В+[-8С])
На втором этапе раскрытия скобок ставим перед скобками множители (-1) или (+1):
(-1)(5А+[-2,5В]+3С) + [-3А](-5В+[-С]) + (+1)(4В+[-8С])
Обратите внимание, что перед скобкой (-5В-С) стоит множитель (-3А), поэтому, перед этой скобкой не ставится ни (-1), ни (+1).
Переходим к третьему этапу, собственно процессу раскрытия скобок, в основе которого лежит распределительный закон. Для удобства восприятия информации, будем каждое слагаемое записывать в отдельную строку (строки 2,3,4), после чего сведем все вместе (строка 5):
(-1)(5А+[-2,5В]+3С) + [-3А](-5В+[-С]) + (+1)(4В+[-8С]) (-1)(5А+[-2,5В]+3С) = (-1)(5А) + (-1)(-2,5В) + (-1)(3С) = -5А + (+2,5В) + (-3С) = -5А + 2,5В - 3С [-3А](-5В+[-С]) = (-3А)(-5В) + (-3А)(-С) = 15АВ + 3АС (+1)(4В+[-8С]) = (+1)(4В) + (+1)(-8С) = 4В + (-8С) = 4В - 8С -(5А-2,5В+3С) - 3А(-5В-С) + (4В-8С) = -5А+2,5В-3С+15АВ+3АС+4В-8С
Выполним действие по приведению подобных слагаемых, предварительно их сгруппировав, воспользовавшись переместительным законом сложения:
-5А+2,5В-3С+15АВ+3АС+4В-8С = -5А+2,5В+4В-3С-8С+15АВ+3АС = -5А+6,5В-11С+15АВ+3АС
Заключение в скобки
В некоторых случаях бывает удобно заключить некоторые слагаемые в скобки. В таких случваях следует соблюдать два правила:- если перед скобками будет стоять знак "плюс", то знаки всех слагаемых, которые будут заключены в скобки, остаются без изменений;
- если перед скобками будет стоять знак "минус", то знаки всех слагаемых, которые будут заключены в скобки, заменяются на противоположный.
3А+2В+5АВ-3С+4ВС (3А+2В)+5АВ-(3С-4ВС) (3А+2В+5АВ)+(-3С+4ВС)
