Уравнение вида sin(x)=y
Решая тригонометрические уравнения, следует всегда помнить, что синус и косинус любого угла не может быть больше 1 (см. Что такое радиан).
Функция y=sin(x) может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1.
Поэтому уравнение sin(x)=y не имеет решений при |y|>1.
Если |y|≤1, уравнение sin(x)=y имеет бесконечное множество решений.
На рисунке показано графическое решение уравнений sin(x)=-1 и sin(x)=-1/2.
Если взять диапазон значений аргумента x от -π до +π (что будет соответствовать одному полному обороту тригонометрического круга), то на этом участке уравнение sin(x)=-1 будет иметь одно решение -π/2:
sin(x)=-1 x=arcsin(-1)=-π/2
Поскольку функция синус является периодической с периодом в 2π, то полным решением уравнения sin(x)=-1 будет бесконечное множество углов, кратных 2π
x=-π/2+2π·n n - целое число
Для y=1:
sin(x)=1 x=+π/2+2π·n n - целое число
Мы рассмотрели крайние возможные значения функции sin(x)=y. Для диапазона значений |y|<1 ситуация будет немножко другой.
Из рисунка хорошо видно, что график функции sin(x)=-1/2 на участке от -π до +π дважды пересекает синусоиду, а, значит, уравнение sin(x)=-1/2 на этом участке имеет два решения: -(5/6)π и -(1/6)π.
Данный "фокус" становится более понятным, если обратиться к тригонометрическому кругу - углы α и -π-α будут иметь одно и то же значение ординаты.
Обратите внимание на важный нюанс, поскольку угол α у нас отрицательный, то такое же значение ориднаты будет иметь угол -π-α. Для положительного α вычитать следует от положительного значения +π: π-α. Хотя фактически sin(π)=sin(-π). Подумайте сами почему так получается.
Однако, здесь одной формулой не "отделаться". Дело в том, что формула для нахождения углов, кратных -π/6 не подходит для нахождения углов, кратных -5π/6.
sin(x)=-1/2 x=arcsin(-1/2)=-π/6 x=-π/6+2π·n x=arcsin(y)+2π·n n - четное целое число sin(x)=-π-(-1/2) x=-π-arcsin(-1/2)=-π-(-π/6)=-5π/6 x=-5π/6+2π·n x=-π-arcsin(y)+2π·n n - нечетное целое число
Для четных n будет работать первая формула, для нечетных - вторая. Обе эти формулы можно совместить в одной:
x=(-1)n·arcsin(y)+π·n n - целое число
Самая простая формула получается для случая y=0:
x=π·n n - целое число
