ГлавнаяМатематикаАлгебраические выраженияУравнение вида sin(x)=y

Математика - это просто!

УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
· Алгебраические равенства
· Работа со скобками
· Уравнение с одним неизвестным
· Тождества
· Линейное уравнение
· Система из 2 уравнений
· Квадратное уравнение
· Теорема Виета
· Биквадратное уравнение
· Примеры решения задач
· Уравнение вида sin(x)=y
· Уравнение вида cos(x)=y
· Уравнение вида tg(x)=y; ctg(x)=y
· Показательные уравнения
· Логарифмические уравнения
НЕРАВЕНСТВА
· Числовые неравенства
· Сложение и умножение
· Решение неравенств
· Числовые промежутки
· Модуль числа
· Квадратные неравенства
· Тригонометрические неравенства
· Показательные неравенства
· Логарифмические неравенства
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ

Онлайн тесты по ЕГЭ

Уравнение вида sin(x)=y


Решая тригонометрические уравнения, следует всегда помнить, что синус и косинус любого угла не может быть больше 1 (см. Что такое радиан).

Функция y=sin(x) может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1.

Поэтому уравнение sin(x)=y не имеет решений при |y|>1.

Если |y|≤1, уравнение sin(x)=y имеет бесконечное множество решений.

На рисунке показано графическое решение уравнений sin(x)=-1 и sin(x)=-1/2.

Если взять диапазон значений аргумента x от до (что будет соответствовать одному полному обороту тригонометрического круга), то на этом участке уравнение sin(x)=-1 будет иметь одно решение -π/2:

sin(x)=-1
x=arcsin(-1)=-π/2

Поскольку функция синус является периодической с периодом в 2π, то полным решением уравнения sin(x)=-1 будет бесконечное множество углов, кратных 2π

x=-π/2+2π·n
n - целое число

Для y=1:

sin(x)=1
x=+π/2+2π·n
n - целое число

Мы рассмотрели крайние возможные значения функции sin(x)=y. Для диапазона значений |y|<1 ситуация будет немножко другой.

Из рисунка хорошо видно, что график функции sin(x)=-1/2 на участке от до дважды пересекает синусоиду, а, значит, уравнение sin(x)=-1/2 на этом участке имеет два решения: -(5/6)π и -(1/6)π.

Данный "фокус" становится более понятным, если обратиться к тригонометрическому кругу - углы α и -π-α будут иметь одно и то же значение ординаты.

Обратите внимание на важный нюанс, поскольку угол α у нас отрицательный, то такое же значение ориднаты будет иметь угол -π-α. Для положительного α вычитать следует от положительного значения +π: π-α. Хотя фактически sin(π)=sin(-π). Подумайте сами почему так получается.

Однако, здесь одной формулой не "отделаться". Дело в том, что формула для нахождения углов, кратных -π/6 не подходит для нахождения углов, кратных -5π/6.

sin(x)=-1/2
x=arcsin(-1/2)=-π/6
x=-π/6+2π·n
x=arcsin(y)+2π·n
n - четное целое число

sin(x)=-π-(-1/2)
x=-π-arcsin(-1/2)=-π-(-π/6)=-5π/6
x=-5π/6+2π·n
x=-π-arcsin(y)+2π·n
n - нечетное целое число

Для четных n будет работать первая формула, для нечетных - вторая. Обе эти формулы можно совместить в одной:

x=(-1)n·arcsin(y)+π·n
n -  целое число

Самая простая формула получается для случая y=0:

x=π·n
n -  целое число
В начало страницы