ГлавнаяМатематикаАлгебраические выраженияУравнение вида cos(x)=y

Математика - это просто!

УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
· Алгебраические равенства
· Работа со скобками
· Уравнение с одним неизвестным
· Тождества
· Линейное уравнение
· Система из 2 уравнений
· Квадратное уравнение
· Теорема Виета
· Биквадратное уравнение
· Примеры решения задач
· Уравнение вида sin(x)=y
· Уравнение вида cos(x)=y
· Уравнение вида tg(x)=y; ctg(x)=y
· Показательные уравнения
· Логарифмические уравнения
НЕРАВЕНСТВА
· Числовые неравенства
· Сложение и умножение
· Решение неравенств
· Числовые промежутки
· Модуль числа
· Квадратные неравенства
· Тригонометрические неравенства
· Показательные неравенства
· Логарифмические неравенства
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ

Онлайн тесты по ЕГЭ

Решение уравнения вида cos(x)=y


Все сказанное о решении уравнений вида sin(x)=y будет справедливо и для уравнений вида cos(x)=y.

Здесь повторим лишь основные моменты, не расписывая подробности.

Функция y=cos(x) имеет следующий вид:

График функции y=cos(x) полностью аналогичен графику функции y=sin(x) - это та же синусоида, которая сдвинута по оси х на (-π/2).

Функция y=cos(x) может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1.

Поэтому уравнение cos(x)=y не имеет решений при |y|>1.

Если |y|≤1, уравнение cos(x)=y имеет бесконечное множество решений.

На рисунке показано графическое решение уравнений cos(x)=-1 и cos(x)=-1/2.

Если взять диапазон значений аргумента x от 0 до +2π (что будет соответствовать одному полному обороту тригонометрического круга), то на этом участке уравнение cos(x)=-1 будет иметь одно решение π:

cos(x)=-1
x=arccos(-1)=π

Поскольку функция косинус является периодической с периодом в 2π, то полным решением уравнения cos(x)=-1 будет бесконечное множество углов, кратных 2π

x=π+2π·n
n - целое число

Теперь рассмотрим случай, когда |y|<1.

График функции cos(x)=-1/2 на участке от 0 до дважды пересекает график функции y=cos(x), а, значит, уравнение cos(x)=-1/2 на этом участке имеет два решения: (4/6)π и (8/6)π. Или: 2π/3 и (π+π/3).

cos(x)=-1/2
x=arccos(-1/2)=(π+π/3)
x=(π+π/3)+2π·n
x=arccos(-1/2)+2π·n

Но, поскольку cos α = cos (-α):

cos(-x)=-1/2
-x=arccos(-1/2)
x=-arccos(-1/2)+2π·n

Обе эти формулы можно совместить в одной:

x=±arccos(-1/2)+2π·n
x=±arccos(y)+2π·n
n -  целое число

Самая простая формула получается для случая y=0:

x=π/2·n
n -  целое число
В начало страницы