Что такое числовые неравенства
Числовое выражение, в котором вместо знака равно (=) стоит знак меньше (<) или больше (>), назыается неравенством.
Логика достаточно простая и понятная:
A=B; 5=5 A>B; 5>4 A<B; 5<6
- Если A>B, то A-B>0
- Если A<B, то A-B<0
Если А не равно В, то сумма их квадратов будет больше удвоенного произведения.
A≠B; A2+B2>2AB Доказательство: A2+B2-2AB>0 (A-B)2>0 (при A≠B)
Если А не равно В, то квадрат любого числа будет больше нуля.
Основные свойства неравенств
Свойство 1: Если A<B и B<C, то A<C.
Свойство 2: Если A<B и С - любое число, то A+С<B+С.
Свойство 3: Если A<B и С>0, то AС<BС; если A<B и С<0, то AС>BС.
Вытекаемые из основных свойств неравенств следствия:
- При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую, знак этого слагаемого меняется на противоложный, при этом знак самого неравенства не изменяется:
A>B+C; 4>1+2 A-C>B; 4-2>1
- При делении обеих частей неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства остается прежний:
A>B; 6>3; A/C>B/C; 6/3>3/3; 2>1
- При делении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоложный:
A>B; 6>3; A/(-C)<B/(-C); 6/(-3)<3/(-3); (-2)<(-1)
Если обе части равенства положительны, то при возведении в одну и ту же степень:
- знак равенства остается без изменений, при возведении в положительную степень:
A>B; 4>2 A2>B2; 42>22; 16>4
- знак равенства меняется на противоположный, при возведении в отрицательную степень:
A>B; 4>2 A-2<B-2; 4-2<2-2; (1/16)<(1/4)
Строгие и нестрогие неравенства
- В строгих неравенствах используются знаки > (больше) или < (меньше);
- В нестрогих неравенствах используются знаки ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно).
Для нестрогих неравенств справедливы все свойства строгих равенств, описанные выше.
