ГлавнаяМатематикаЧисловые неравенстваТригонометрические неравенства

Математика - это просто!

УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
· Алгебраические равенства
· Работа со скобками
· Уравнение с одним неизвестным
· Тождества
· Линейное уравнение
· Система из 2 уравнений
· Квадратное уравнение
· Теорема Виета
· Биквадратное уравнение
· Примеры решения задач
· Уравнение вида sin(x)=y
· Уравнение вида cos(x)=y
· Уравнение вида tg(x)=y; ctg(x)=y
· Показательные уравнения
· Логарифмические уравнения
НЕРАВЕНСТВА
· Числовые неравенства
· Сложение и умножение
· Решение неравенств
· Числовые промежутки
· Модуль числа
· Квадратные неравенства
· Тригонометрические неравенства
· Показательные неравенства
· Логарифмические неравенства
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА


Онлайн тесты по ЕГЭ

Как решать тригонометрические неравенства


Тригонометрическим называется неравенство, одна часть которого представлена тригонометрической функцией, а вторая - числовым выражением:

Примеры тригонометрических неравенств:

sin(x)<0
cos(x)≥1
tg(x)>1/3

Решать тригонометрические неравенства удобно при помощи единичной окржности, по аналогии с решением квадратных неравенств при помощи эскиза параболы.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств при помощи единичной окружности:

  1. определить дугу единичной окружности, для всех точек которой будет выполняться исходное неравенство;
  2. найти центральные углы, одной стороной которых является луч, начинающийся в точке начала координат и совпадающей с положительным направлением оси абсцисс, а другая сторона пересекает данную дугу;
  3. к найденному решению следует прибавить период рассматриваемой тригонометрической функции к обеим частям полученного неравенства.

Пример 1: Решить неравенство sin(x)>1/2.

1. Находим дугу единичной окружности, точки которой будут удовлетворять исходному неравенству. Сделать это очень просто - на оси ординат отмечаем точку ½ и из нее проводим горизонтальную линию до пересечения с единичной окружностью. Все точки окружности, которые будут лежать выше проведенной горизонтали, составят искомую дугу, т. к. ординаты этих точек больше ½.

2. Ордината угла AOX может быть вычислена по формуле y=arcsin(XOA). Точно такую же ординату будет иметь угол XOB: y=arcsin(XOB)=arcsin(XOA). Это логично вытекает из того обстоятельства, что в пределах одной и той же единичной окружности синусы углов α и π-α равны (см. Свойства тригонометрических функций).

3. В нашем неравенстве фигурируют углы, ординаты которых равны ½. В правой полуокружности такая ордината будет у угла arcsin(½); в левой: π-arcsin(½). Поскольку нас интересуют точки окружности, ординаты которых больше ½, то решение нашего неравенства будет следующее:

arcsin(½)+2kπ < x < π-arcsin(½)+2kπ

Пример 2: Решить неравенство cos(x)>1/2.

1. Находим дугу единичной окружности, точки которой будут удовлетворять исходному неравенству. Сделать это очень просто - на оси абсцисс отмечаем точку ½ и из нее проводим вертикальную линию до пересечения с единичной окружностью. Все точки окружности, которые будут лежать правее проведенной вертикали, составят искомую дугу, т. к. абсциссы этих точек больше ½.

2. Поскольку, в пределах одной и той же единичной окружности cos(α)=cos(-α), поэтому абсциссу ½ будут иметь два угла: XOA и XOB: arccos(½) и arccos(-½).

3. Таким образом, решением исходного неравенства в пределах единичной окружности будут все углы, полученные вращением против часовой стрелки радиуса ОВ до совмещения с радиусом ОА, исключая при этом углы XOA, XOB:

arccos(-½)+2kπ < x < arccos(½)+2kπ
В начало страницы