Как решать логарифмические неравенства
Поскольку логарифмическая функция является обратной к показательной функции, принцип решения логарифмических неравенств аналогичен решению неравенств показательных:
- на первом этапе делаются преобразования с целью приведения логарифмов к одному основанию в обеих частях неравенства;
- после этого решается неравенство с подлогарифмическими выражениями, при этом, если основание логарифма больше 1, то знак неравенства не изменяется, если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняется на противоположный.
Графики показательной и логарифмических функций:
В качестве примера решим логарифмическое неравенство log1/2(10-2x)>-3:
На первом этапе приводим правую часть неравенства к логарифму с основанием 1/2:
-3 = log1/28
Теперь исходное неравенство примет следующий вид:
log1/2(10-2x)> log1/28
Поскольку в обеих частях неравенства стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, то неравенство будет справедливо и для подлогарифмических выражений:
10-2x < 8
Следует обратить внимание, поскольку основание логарифма меньше единицы, то логарифмическая функция будет убывающей, поэтому, при переходе на подлогарифмические выражения знак неравенства меняется на противоположный.
Поскольку подлогарифмические выражения должны быть положительными, имеем еще одно неравенство:
10-2x > 0
Решая систему из двух неравенств, получим промежуток, удовлетворяющий условиям обеих неравенств, и исходного неравенства соответственно:
x > 1 x < 5
Ответ: решением логарифмического неравенства log1/2(10-2x)>-3 будет числовой промежуток (1;5), исключая крайние точки этого промежутка.
