ГлавнаяМатематикаАлгебраические выраженияРешение логарифмических уравнений

Математика - это просто!

УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
· Алгебраические равенства
· Работа со скобками
· Уравнение с одним неизвестным
· Тождества
· Линейное уравнение
· Система из 2 уравнений
· Квадратное уравнение
· Теорема Виета
· Биквадратное уравнение
· Примеры решения задач
· Уравнение вида sin(x)=y
· Уравнение вида cos(x)=y
· Уравнение вида tg(x)=y; ctg(x)=y
· Показательные уравнения
· Логарифмические уравнения
НЕРАВЕНСТВА
· Числовые неравенства
· Сложение и умножение
· Решение неравенств
· Числовые промежутки
· Модуль числа
· Квадратные неравенства
· Тригонометрические неравенства
· Показательные неравенства
· Логарифмические неравенства
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ

Онлайн тесты по ЕГЭ

Решение логарифмических уравнений


Логарифмом числа называют степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить подлогарифмичесое выражение.

Простейшее логарифмическое уравнение и его решение имеет вид:

logax=b

x=ab

Такое логарифмическое уравнение может иметь только одно решение.

Пример 1

Начнем с азов:

log2x=3

x=23=8

При решении логарифмических уравнений часто пользуются свойствами логарифмов, которые надо знать:

Решим уравнение посложнее:

Пример 2

log2(x2-3x+10)=3
(x2-3x+10)=23
(x2-3x+10)=8
(x2-3x+2)=0

Решая квадратное уравнение получим два корня, которые и будут решением исходного логарифмического уравнения:

x1=1
x2=2

Часто при решении логарифмических уравнений логарифм присутствует в обеих частях уравнения:

logax=logay

Логарифмические уравнения подобного типа решаются с помощью системы уравнений:

x=y
x>0
y>0

Первое уравнение отражает условие, что, если равны логарифмы по одинаковому основанию, то равны и подлагирфмические выражения. Второе и третье неравенства верны, поскольку подлогарифмическая функция определна только на множестве положительных чисел (подлогарифмическое выражение может быть только положительным).

Пример 3

log2(x+5)=log2(2x-1)

(x+5)=(2x-1)
x+5>0
2x-1>0

x=6
x>-5
x>1/2

Найденный корень уравнения (число 6) удовлетворяет двум условиям (число 6 больше -5 и больше 1/2), поэтому, число 6 является решением исходного логарифмического уравнения.

В случае, если найденный корень не удовлетворяет хотя бы одному из условий - такое логарифмическое уравнение не будет иметь решений.

ВАЖНО! Найденный корень (корни) логарифмического уравнения всегда следует подставлять в подлогарифмическое выражение и проверять будет ли оно положительным, если это не так, то уравнение не имеет решения.

Пример 4

lg(x+1)+lg(x-1)=1

lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x+1)(x-1)

lg(x+1)(x-1)=1
(x+1)(x-1)=101
x2-1=10

x1,2=±√11

Чтобы установить, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению, решим систему из двух неравенств:

(x+1)>0
(x-1)>0

x>-1
x>1

Такому условию удовлетворяет только корень √11, который и будет являться решением исходного логарифмического уравнения.

Пример 5

Напоследок приведем пример решения логарифмического уравнения, в котором присутствуют логарифмы с разными основаниями:

log2x+logx4=0

При решении логарифмических уравнений с разными основаниями пользуются формулой перехода от одного основания логарифма к другому:

logyx=(logax)/(logay)

Используем данное свойство для решения исходного уравнения. Перейдем к логарифму с основанием 2:

log2x-logx4=0

logx4=(log24)/(log2x)=2/(log2x)

log2x-2/(log2x)=0

(log2x)2-2=0

(log2x)2=2

log2x=±√2

x1=2√2
x2=2-√2
В начало страницы