ГлавнаяМатематикаТригонометрияФормулы сложения

Математика - это просто!

ТРИГОНОМЕТРИЯ
· Что такое радиан
· sin, cos, tg, ctg
· Свойства функций
· Основные формулы
· Формулы приведения
· Формулы сложения
· Двойной и половинный угол
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ

Онлайн тесты по ЕГЭ

Тригонометрические формулы сложения


Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и синуса второго угла на косинус первого:

sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

Синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла (уменьшаемого) на косинус второго (вычитаемого) и синуса второго угла (вычитаемого) на косинус первого угла (уменьшаемого).

sin(α-β) = sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

Косинус суммы двух углов равен разности произведений косинуса первого угла (первое слагаемое) на косинус второго угла (второе слагаемое) и синуса первого угла на синус второго угла:

cos(α+β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

Косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов и синусов этих углов:

cos(α-β) = cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)

Формулы тангенсов и котангенсов сумм и разностей углов:

tg(α+β) = (tg(α)+tg(β))/(1-tg(α)tg(β))
tg(α-β) = (tg(α)-tg(β))/(1+tg(α)tg(β))

ctg(α+β) = (ctg(α)ctg(β)-1)/(ctg(α)+ctg(β))
ctg(α-β) = (ctg(α)ctg(β)+1)/(ctg(α)-ctg(β))

Пример 1

Задача: Вычислить, зная значения тригонометрических функций стандартных углов (0°, 30°, 45°, 60° 90°) cos(1,5π).

Решение:

cos(1,5π) = cos(π+π/2)
cos(π)cos(π/2)-sin(π)sin(π/2)
1·0 - 0·1 = 0

Пример 2

Задача: Упростить следующее выражение:

cos(π/4+α)sin(π/4+α)-sin(π/4+α)sin(π/4-α)

Решение: Данное выражение очень похоже на косинус суммы углов:

cos(α+β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

Единственное отличие заключается в том, что в первом произведении вместо косинуса стоит синус, но это можно "исправить" с помощью формул приведения:

cos(π/2-α)=sin(α)
следовательно:
sin(π/4+α)=cos(π/2-(π/4+α))=cos(π/4-α)

Теперь можно упростить выражение. подставив вместо синуса приведенный косинус:

cos(π/4+α)cos(π/4-α)-sin(π/4+α)sin(π/4-α)

Получаем правую часть формулы косинуса разности углов:

cos((π4+α)+(π/4-α)) = cos(π/2) = 0.

Пример 3

Задача: Найти ctg(75°).

Решение:

ctg(75°)=ctg(45°+30°)
ctg(α+β) = (ctg(α)ctg(β)-1)/(ctg(α)+ctg(β))
ctg(45°+30°)=(ctg(45°)ctg(30°)-1)/(ctg(45°)+ctg(30°))
ctg(75°)=(1·√3-1)/(1+√3)
В начало страницы