ГлавнаяМатематикаФункцииКвадратичная функция

Математика - это просто!

ФУНКЦИИ
· Что такое функция
· Способы задания функции
· График функции
· Свойства функции
· График функции y=kx
· График квадратичной функции
· Степенная функция y=xk
· Тригонометрические функции
· Показательная функция
· Обратные функции
· Логарифмические функции
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА


Онлайн тесты по ЕГЭ

Функция y=x2


График функции y=x2 называется параболой.

Свойства функции y=x2:

Все точки параболы y=x2 лежат выше оси абсцисс, лишь только ее вершина касается оси абсциссс в точке с координатами (0; 0).

Функция y=ax2

График функции y=ax2 также является параболой, ветви которой, в зависимости от значения коэффициента a, растягиваются или сжимаются:

Свойства функции y=ax2:

Квадратичная функция y=ax2+bx+c

Квадратичной называется функция вида y=ax2+bx+c, где a, b, c - заданные действительные числа, при этом: a≠0.

Рассмотренные выше функции y=x2 и y=ax2 являются частным случаем квадратичной функции:

y=x2; a=1, b=0, c=0
y=ax2; b=0, c=0

График квадратичной функции y=ax2+bx+c получается из графика функции y=ax2, путем его параллельного переноса вверх-вниз и влево-вправо относительно начала координат - направление и величина смещения графика зависит от коэффициентов b и c.

Главной задачей при построении графика квадратичной функции является нахождение координат вершины параболы (x0; y0). После того, как координаты вершины параболы найдены, уже нет никаких проблем построить график функции y=ax2.

Для быстрого и удобного нахождения координат вершины параболы, являющейся графиком квадратичной функции вида y=ax2+bx+c, умные люди применили метод выделения полного квадрата, благодаря чему, квадратичная функция была приведена к виду:

y=a(x-x0)2 + y0

Выделение полного квадрата квадратичной функции:

y=ax2+bx+c=
a(x2+x·b/a+c/a)=
a(x2+2x·b/(2a)+(b/(2a))2-(b/(2a))2+c/a)=
a((x+b/(2a))2-(b/(2a))2+c/a)=
a((x+b/(2a))2-(b2/(4a2)-c/a))=
a((x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a2))=
a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/4a=
a(x-(-b)/(2a))2+(-(b2-4ac))/4a

Таким образом, квадратичная функция y=ax2+bx+c трансформировалась в функцию вида y=a(x-x0)2+y0, где:

x0 = -b/(2a)
y0 = -(b2-4ac)/4a

Точка с координатами (x0; y0) является вершиной параболы y=ax2+bx+c.

При a>0 ветви параболы направлены вверх и квадратичная функция в точке (x0; y0) будет принимать минимум, при a<0 ветви параболы направлены вниз и в точке (x0; y0) квадратичная функция будет принимать максимум.

В формуле исходной квадратичной функции коэффициент b влияет на смещение графика функции, как вдоль оси абсцисс, так и вдоль оси ординат; коэффициент с - смещает график только вдоль оси ординат.

В качестве примера построим график квадратичной функции y=2x2+4x-8.

График данной функции будет получен путем переноса вершины параболы y=2x2.

Наша задача - найти координаты вершины функции y=2x2+4x-8.

Это сделать достаточно просто, используя вышеприведенный метод выделения полного квадрата квадратичной функции.

x0 = -b/(2a)
x0 = -4/(2·2) = -1

y0 = -(b2-4ac)/4a
y0 = -(42-4·2·(-8))/4·2 = -10

Все, что нам остается сделать - провести параллельный перенос графика из начала координат в точку с координатами (-1; -10):

Для того, чтобы узнать в каких точках график пересекает ось абсцисс, надо решить квадратное уравнение:

2x2+4x-8 = 0
x1,2 = (-4±√(16+64))/4
x1,2 = -1±√5
x1 ≈ -3,24
x2 ≈ 1,24
В начало страницы