Степенная функция y=xk
Свойства функции с натуральным показателем y=xk:
- Область определения функции y=xk - область всех действительных чисел;
- Если k - четное число: функция y=xk на интервале (-∞; 0) является убывающей и возрастающей на интервале (0; ∞);
- Если k - нечетное число: функция y=xk на интервале (-∞; 0) является возрастающей и убывающей на интервале (0; ∞);
- Корень функции: x=0, т. к. график функции y=xk проходит через начало координат;
- Функция y=xk является четной при четном k, т. к. (-x)k=xk ее график симметричен относительно оси ординат;
- Функция y=xk является нечетной при нечетном k, т. к. (-x)k=-xk ее график симметричен относительно начала координат;
- Функция y=xk не является периодической функцией.
- При четном k (график располагается в первой и второй координатной четверти - голубой цвет на рисунке) и x≠0 - график функции y=xk расположен выше оси абсцисс (y>0);
- При нечетном k (график располагается в первой и третьей координатной четверти - красный цвет на рисунке):
- при x>0 ордината положительна (y>0);
- при x<0 ордината отрицательна (y<0).
Степенная функция y=x-1
График функции вида y=x-1 называется гиперболой.
Свойства степенной функции вида y=1/x:
- Область определения функции y=1/x - область всех действительных чисел за исключением 0;
- Функция y=1/x является убывающей на интервале от -∞ до 0 (не включая) и на интервале от 0 (не включая) до +∞;
- Функция y=1/x корней не имеет, т. к. делить на ноль нельзя, поэтому график функции не пересекает ось абсцисс (ось ординат функция тоже не пересекает);
- Функция y=1/x является нечетной, т. к. 1/(-x)=-(1/x) - ее график симметричен относительно начала координат и располагается в первой и третьей координатных четвертях;
- Функция y=1/x не является периодической функцией.
Степенная функция вида y=k/x
График степенной функции вида y=k/x также имеет вид гиперболы и получается растяжением графика функции y=1/x от оси абсцисс вдоль оси ординат в k раз (см. рисунок выше).
Свойства степенной функции вида y=k/x:
- Область определения функции y=k/x - область всех действительных чисел за исключением 0;
- При k>0 функция y=k/x является убывающей на интервале от -∞ до 0 (не включая) и на интервале от 0 (не включая) до +∞;
- При k<0 функция y=k/x является возрастающей на интервале от -∞ до 0 (не включая) и на интервале от 0 (не включая) до +∞;
- Функция y=k/x корней не имеет, т. к. делить на ноль нельзя, поэтому график функции не пересекает ось абсцисс (ось ординат функция тоже не пересекает);
- Функция y=k/x является нечетной, т. к. k/(-x)=-(k/x) - ее график симметричен относительно начала координат и располагается в первой и третьей координатных четвертях (при k>0) и во второй и четвертой четвертях (при k<0);
- Функция y=k/x не является периодической функцией.
График степенной функции вида y=a+k/(x+b) получается из графика функции y=k/x на а единиц вверх (при a>0) или вниз (при a<0), а также на b единиц влево (при b>0) или вправо (при b<0).
