ГлавнаяМатематикаФункцииОбратные функции

Математика - это просто!

ФУНКЦИИ
· Что такое функция
· Способы задания функции
· График функции
· Свойства функции
· График функции y=kx
· График квадратичной функции
· Степенная функция y=xk
· Тригонометрические функции
· Показательная функция
· Обратные функции
· Логарифмические функции
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА


Онлайн тесты по ЕГЭ

Обратимые и обратные функции


Обратимой называется функция в которой произвольному значению функции соответствует единственное значение аргумента.

Примеры обратимых функций:

y=2x+5
y=x3
y=2/x

Поскольку в обратимой функции любому значению y соответствует единственное значение x, то y обратимой функции может выполнять роль аргумента (независимой переменной), а x - роль функции (зависимой переменной). Говоря, проще, в обратимых функциях y и x могут как бы меняться местами.

Исходная обратимая функция и функция, полученная из нее путем замены x на y и y на x, называются обратными.

Примеры обратных функций:

y=2x+5; 
x=2y+5; y=(x-5)/2

y=x3; 
x=y3; y=x1/3

y=2/x;
x=2/y; y=2/x

Если взять функцию y=x2, то она не является обратной, поскольку значение функции имеет несколько значений аргумента, например y=4, при x=2; x=-2.

Однако, если рассматривать данную функцию только на множестве положительных чисел, она будет обратимой:

y=x2; 
x=y2; y=x1/2=√x

Графики функций будут симметричны относительно прямой y=x:

Функция y=arcsin(x)

Поскольку функция y=sin(x) является периодической, она не является обратимой.

функция y=sin(x)

Для построения функции, обратимой y=sin(x), необходимо взять один из полупериодов функции, обычно это отрезок [-π/2;π/2], на котором функция обратима.

y=sin(x)
x=sin(y); y=arcsin(x)

График функции y=arcsin(x):

Функция y=arcsin(x)

Например, чтобы найти arcsin(1), можно воспользоваться равенством 1=sin(y). Угол на отрезке [-π/2;π/2], синус которого равняется 1, будет равен 90° или π/2.

Функция y=arccos(x)

Поскольку функция y=cos(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=cos(x), необходимо взять один из полупериодов функции, обычно это отрезок [0;π], на котором функция обратима.

y=cos(x)
x=cos(y); y=arccos(x)

График функции y=arccos(x):

функция y=arccos(x)

Например, чтобы найти arccos(1), можно воспользоваться равенством 1=cos(y). Угол на отрезке [0;π], косинус которого равняется 1, будет равен 0.

Функция y=arctg(x)

тангенсоида и котангенсоида

Поскольку функция y=tg(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=tg(x), необходимо рассматривать тангенсоиду на отрезке [-π/2;π/2], на котором функция обратима.

y=tg(x)
x=tg(y); y=arctg(x)

График функции y=arctg(x):

График функции y=arctg(x)

Функция y=arcctg(x)

Поскольку функция y=ctg(x) является периодической, она не является обратимой.

Для построения функции, обратимой y=ctg(x), необходимо рассматривать котангенсоиду на отрезке [0;π], на котором функция обратима.

y=ctg(x)
x=ctg(y); y=arcctg(x)

График функции y=arcctg(x):

График функции y=arcctg(x)
В начало страницы