ГлавнаяМатематикаТреугольникиТеорема синусов

Математика - это просто!

МНОГОУГОЛЬНИКИ
· Виды треугольников
· Биссектриса и высота
· Признаки равенства треугольников
· Равнобедренные треугольники
· Площадь треугольника
· Теорема Пифагора
· Теорема синусов
· Теорема косинусов
· Подобные треугольники
· Параллелограмм
· Ромб, квадрат
· Трапеция
ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ
· Отрезок, луч, прямая
· Угол
· Разновидности углов
· Признаки параллельности
ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ
· Что такое окружность
· Что такое круг
· Касательная к окружности
· Вписанная окружность
· Описанная окружность
ВЕКТОРЫ
· Что такое вектор
· Сложение и вычитание векторов
· Умножение вектора на число
· Координаторы вектора
· Угол между векторами
· Скалярное произведение векторов
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА


Онлайн тесты по ЕГЭ

Теорема синусов треугольника


Отношения длин сторон треугольника к их противолежащим углам - равны.

теорема синусов треугольника
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Теорема синусов позволяет находить все углы и длины сторон треугольника, если известны:

Пример 1. Построить треугольник АВС, у которого известны одна сторона и два угла: АВ=10 см, ∠B=30°, ∠C=60°.

Решение. По теореме синусов:

b/sin(B) = c/sin(C)
АС/sin(B) = АВ/sin(C)

Отсюда находим сторону АС:

АС = АВ·sin(B)/sin(C)
AC = 10·sin(30°)/sin(60°)
AC = 10·(1/2)/(√(3)/2)
AC = 10/√3 ≈ 5,77 см.

Для нахождения третьей стороны BC сначала найдем угол А: 180°-30°-60°=90°.

Теперь снова используем теорему синусов:

b/sin(B) = а/sin(А)
АС/sin(B) = BC/sin(A)

BC = AC·sin(A)/sin(B)
BC = (10/√3)·sin(90°)/sin(30°)
BC = (10/√3)·1/(1/2)
BC = 20/√3 ≈ 11,55 см

Ответ: AC = 10/√3; BC = 20/√3; ∠A=90°

Пример 2. Построить треугольник АВС, если известны две стороны и угол, противолежащий одной из них: ВС = 3 см, AC = 4 см, ∠A = 30°.

Решение. Согласно теореме синусов:

BC/sin(A)=AC/sin(B)
sin(B)=AC·sin(A)/BC
sin(B)=4·sin(30°)/3
sin(B)=4·(1/2)/3
sin(B)=2/3 ≈ 0,67

Казалось бы, что задача решена, однако, не надо забывать, что такие тригонометрические функции, как синус и косинус, являются очень "коварными" - нюанс заключается в том, что значение sin(B)=2/3 ≈ 0,67 могут принимать два угла в 42° и 138° (см. Что такое синус).

Фактически с такими данными могут быть построены два треугольника.

По этой причине, используя теорему синусов, следует найти оба варианта:

Если ∠B=42°:

∠C = 180°-42°-30° = 108°
AB=BC·sin(C)/sin(A)
AB ≈ 5,7 см

Если ∠B=138°:

∠C = 180°-138°-30° = 12°
AB=BC·sin(C)/sin(A)
AB ≈ 1,26 см

Ответ: возможно построить два треугольника АВС:

  1. ∠B=42° ∠C=108° AB ≈ 5,7 см
  2. ∠B=138° ∠C=12° AB ≈ 1,26 см
В начало страницы