ГлавнаяМатематикаВекторыСкалярное произведение векторов

Математика - это просто!

ВЕКТОРЫ
· Что такое вектор
· Сложение и вычитание векторов
· Умножение вектора на число
· Координаты вектора
· Угол между векторами
· Скалярное произведение векторов
ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ
· Отрезок, луч, прямая
· Угол
· Разновидности углов
· Признаки параллельности
МНОГОУГОЛЬНИКИ
· Виды треугольников
· Биссектриса и высота
· Признаки равенства треугольников
· Равнобедренные треугольники
· Площадь треугольника
· Теорема Пифагора
· Теорема синусов
· Теорема косинусов
· Подобные треугольники
· Параллелограмм
· Ромб, квадрат
· Трапеция
ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ
· Что такое окружность
· Что такое круг
· Касательная к окружности
· Вписанная окружность
· Описанная окружность
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА


Онлайн тесты по ЕГЭ

Скалярное произведение векторов


Вектор можно не только умножать на число, но и перемножать вектора между собой. Такое действие носит название скалярного произведения векторов.

Если сложение или вычитание векторов является, в общем-то, достаточно понятным и логичным действием, которое просто отображается графически, то с пониманием скалярного произведения векторов не всё так просто. Гораздо легче запомнить формулу скалярного умножения двух векторов, благо, она куда проще для запоминания, нежели для понимания.

a·b=|a|·|b|·cos(∠ab)

Все же попробуем разъяснить суть умножения двух векторов.

Начнем с самого простого случая, когда два перемножаемых между собой вектора являются сонаправленными, т. е., угол между такими векторами будет равен 0°.

скалярное произведение сонаправленных векторов

В таком случае:

a·b=|a|·|b|·cos(0°)=|a|·|b|

Таким образом, произведение сонаправленных векторов будет равно произведению их модулей, т.е., умножается длина одного вектора на длину второго вектора.

ВАЖНО: Обратите внимание, что результатом скалярного произведения векторов будет число, а не вектор!

А как быть, если перемножаемые между собой вектора расположены под некоторым углом друг к другу?

В этом случае в дело вступает косинус величины угла, под которым располагаются друг к другу перемножаемые вектора.

Возьмём ещё один частный случай, когда два вектора расположены перпендикулярно друг к другу, т.е. образуют угол в 90°.

скалярное произведение перпендикулярных векторов
a·b=|a|·|b|·cos(90°)=|a|·|b|·0=0

Как видим, произведение двух перпендикулярых векторов равно 0.

Почему так происходит?

Нюанс перемножения двух векторов, расположенных друг к другу под некоторым углом, заключается в том, что перемножается модуль первого вектора на модуль проекции на этот вектор второго вектора. В случае перпендикулярности проекция второго вектора на первый будет являться точкой или нулевым вектором, а скалярное произведение вектора на нулевой вектор равно нулю (см. выше).

Возьмём третий возможный случай, когда угол между векторами острый, т.е., лежит в пределах от 0° до 90°.

скалярное произведение  векторов, расположенных под острым углом

Как известно, косинус углов в этом диапазоне будет числом положительным - меньше 1, но больше 0. Поэтому, скалярное произведение двух не нулевых векторов, расположенных друг к другу под острым углом, всегда будет числом положительным (не следует забывать, что модуль вектора не может быть числом отрицательным, поскольку это расстояние между двумя точками).

В случае, если угол между перемножаемыми векторами будет тупой, т.е., больше 90°, но меньше 180°, в таком случае произведение таких векторов будет числом отрицательным, поскольку в этом диапазоне косинус колеблется от 0 до -1.

скалярное произведение  векторов, расположенных под тупым углом

И последний частный возможный случай - перемножаемые вектора являются противопложно направленными, т.е., образуют развернутый угол (180°). В таком случае, поскольку cos(180°)=-1, скалярное произведение противоположно направленных векторов будет равно отрицательному произведению их модулей.

a·b=|a|·|b|·cos(180°)=-1·|a|·|b|
скалярное произведение противоположно направленных векторов

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Если:

Формула для вычисления длины вектора а с координатами {x;y}:

|a|=√(x2+y2)

Свойства скалярного произведения векторов:

В начало страницы