ГлавнаяВысшая математикаПроизводнаяПроизводная квадратичной функции

Высшая математика

ПРОИЗВОДНАЯ
· Равномерное движение
· Равноускоренное движение
· Производная функции
· Производная квадратичной функции
· Производная степенной функции
· Производная многочлена
· Приближенное вычисление функции


Онлайн тесты по ЕГЭ

Производная квадратичной функции


На странице "Производная функции" мы выяснили, что предел отношения Δs/Δt получил название производной функции s(t).

производная функции

Напомним, что величина Δs - это приращение расстояния; Δt - приращение времени.

Определение производной можно сформулировать в следующем виде:

Производной называется предел отношения приращения расстояния к приращению времени, при стремлении к нулю последнего.

Если уйти от конкретики, и не привязываться к расстоянию и времени, то определение производной будет звучать так:

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной.

Смысл производной заключается в том, что она показывает скорость изменения функции при изменении её аргумента.

Напомним важные моменты производной для функции s(t):

Обозначение производной через предел довольно громоздко и не совсем удобно, поэтому, чаще используют сокращенные варианты (в общем случае вместо переменной s используется перменная y, а вместо переменной t - переменная x - что вполне логично, поскольку расстояние мы откладывали по оси ординат, а время - по оси абсцисс):

обозначение производной функции

Частенько вместо функции пишется ее выражение:

обозначение производной функции

На странице Равноускоренное движение мы искали производную квадратичной функции "наощупь", пошагово уменьшая приращение времени, теперь сделаем это алгебраически.

Изначально составим соотношение:

Знаменатель не трогаем. В числителе делаем преобразования, чтобы избавиться от переменной y. Дэльта игрек - это разность между начальной точкой (y) и некой точкой (y1), соответствующей величине приращения (y+Δy). После этого заменяем y на x2.

Раскрывая скобки в числителе, получаем выражение:

(x+Δx)2-x2=x2+2x·Δx+(Δx)2-x2
2x·Δx+(Δx)2

Теперь наше соотношение примет следующий вид:

Ищем предел квадратичной функции:

предел квадратичной функции

Последнее равенство требует пояснения. Предел двух слагаемых одно из которых независимо, а второе стремится к нулю, будет равен независимому слагаемому.

Алгебраическим путём мы нашли производную квадратичной функции (y=x2):

y'=2x

Теперь ещё раз вернёмся на страницу Равноускоренного движения, на которой мы пошаговым путём нашли производную квадратичной функции для значений t=1 (s'=2) и t=2,5 (s'=5).

Подставляя эти же значения в нашу формулу, мы получим те же значения производных.

В начало страницы