ГлавнаяВысшая математикаПроизводнаяПроизводная степенной функции

Высшая математика

ПРОИЗВОДНАЯ
· Равномерное движение
· Равноускоренное движение
· Производная функции
· Производная квадратичной функции
· Производная степенной функции
· Производная многочлена
· Приближенное вычисление функции


Онлайн тесты по ЕГЭ

Производная степенной функции


На странице Производная квадратичной функции достаточно подробно был изложен алгоритм поиска производной квадратичной функции алгебраическим путём.

В итоге была найдена формула производной квадратичной функции (y=x2):

y'=2x

Аналогичным способом найдем производные для других степенных функций, опуская при этом подробности.

Производная для функции y=x3

На первом этапе "избавляемся" от переменной y:

Находим предел:

Производная для функции y=x4

На первом этапе "избавляемся" от переменной y:

Находим предел:

Искать производные для степенных функций с ещё большими натуральными степенями не имеет смысла. Уже понятно, что производная для степенной функции будет иметь вид:

y=xn
y'=n·xn-1

Производная для функции y=x-1

На первом этапе "избавляемся" от переменной y:

Для этого нам надо привести дроби к общему знаменателю.

Находим предел:

Производная для функции y=x-2:

y'=(x2)'=-2/x3

Как видим, найденная нами ранее формула производной степенной функции подходит и для отрицательных целых степеней.

Логично предположить, что она будет верна и для дробных степеней. Кто не верит, может проверить это самостоятельно. Проще всего это сделать для функции y=√x.

Подсказка: числитель и знаменатель выражения

надо будет умножить на следующую сумму

Для ленивых приводим решение:




Напоследок обратим внимание на два частных случая.

Производная функции y=x

Для такой функции Δy=Δx.

Поэтому, Δy/Δx = 1 для любых Δx, следовательно и в пределе:

y=x
dy/dx = dx/dx = 1

Еще одним частным случаем степенной функции является функция вида y=C, где С - число. Например, y=5.

Для этого случая очевидно, что Δy=0 при любых Δx:

y=С
dy/dx = dС/dx = 0
В начало страницы