ГлавнаяВысшая математикаПроизводнаяГрафик равноускоренного движения

Высшая математика

ПРОИЗВОДНАЯ
· Равномерное движение
· Равноускоренное движение
· Производная функции
· Производная квадратичной функции
· Производная степенной функции
· Производная многочлена
· Приближенное вычисление функции


Онлайн тесты по ЕГЭ

График равноускоренного движения


Предположим, что график движения автомобиля задан формулой:

s = t2

График, наверное, узнали все - это парабола. По оси X у нас откладывается время t; а по оси Y - перемещение s.

равноускоренное движение автомобиля Антилопа-Гну

Составим таблицу перемещения автомобиля по аналогии с равномерным движением:

t - s
------
0 - 0
1 - 1
2 - 4
3 - 9
4 - 16
5 - 25

За первую секунду движения автомобиль пройдет расстояние:

s1-s0 = 1-0 = 1 м

Скорость движения авто в течение первой секунды движения:

v = 1/1 = 1 м/с

За вторую секунду движения автомобиль пройдет расстояние:

s2-s1 = 4-1 = 3 м

Скорость движения авто в течение второй секунды движения:

v = 3/1 = 3 м/с

Мы видим, что за промежуток времени от первой до второй секунды скорость авто изменилась с 1 м/с до 3 м/с. Логично предположить, что скорость авто менялась и в промежутке времени от 0 до 1 секунды, и в промежутке от 1 секунды до 2 секунды. Таким образом, полученные значения скорости являются средними величинами.

А как узнать конкретную скорость в заданный момент времени? Такую скорость называют мгновенной скоростью (она отображается на спидометре автомобиля).

Свою скорость движения автомобиль меняет постепенно, поэтому, уменьшая промежуток времени, в течение которого будет производиться измерение пройденного пути, мы тем самым будем приближать среднюю скорость движения к мгновенной.

Возьмём три промежутка времени:

Составим таблицу пройденного растояния:

t - s
------
1 - 1
1,01 - 1,0201
1,1 - 1,21
1,5 - 2,25

Вычислим средние скорости для каждого из выбранных промежутков:

1-1,5 секунд
v = (2,25-1)/(1,5-1) = 1,25/0,5 = 2,5 м/с

1-1,1 секунд
v = (1,21-1)/(1,1-1) = 0,21/0,1 = 2,1 м/с

1-1,01 секунд
v = (1,0201-1)/(1,01-1) = 0,0201/0,01 = 2,01 м/с

Как говорится, "невооруженным глазом" видно, что, чем меньше промежуток времени, отсчитываемый от 1 секунды, тем ближе скорость к 2 м/с.

Таким образом, можно предположить, что в момент времени 1 секунда после начала движения, мгновенная скорость автомобиля будет равна 2 м/с.

Проделаем тот же "фокус" с определением мгновенной скорости движения для момента времени t=2,5 секунды.

Составляем таблицу пройденного растояния:

t - s
------
2,5 - 6,25
2,51 - 6,3001
2,6 - 6,76
3 - 9

Вычисляем средние скорости для каждого из выбранных промежутков:

2,5-3 секунд
v = (9-6,25)/(3-2,5) = 2,75/0,5 = 5,5 м/с

2,5-2,6 секунд
v = (6,76-6,25)/(2,6-2,5) = 0,51/0,1 = 5,1 м/с

2,5-2,51 секунд
v = (6,3001-6,25)/(2,51-2,5) = 0,0501/0,01 = 5,01 м/с

Не надо быть "семи пядей во лбу", чтобы догадаться, что мгновенная скорость в момент времени 2,5 с будет равна 5 м/с.

ВНИМАНИЕ! Из всего вышеизложенного делаем архиважный вывод!!!

Мгновенная скорость есть функция времени t.
v=v(t)

Всё очень просто, - мы увидели, что с течением времени скорость автомобиля меняется, точно так же, как и меняется пройденное им расстояние.

В приведённых выше примерах мы приближались к выбранному моменту времени с одной "стороны". Можно это делать с "обеих сторон", тогда значение мгновенной скорости можно вычислить совершенно точно, как среднее арифметическое (но это можно сделать только в случае равноускоренного движения).

Берём следующие промежутки времени:

Составляем таблицу пройденного растояния:

t - s
------
1 - 1
1,01 - 1,0201
1,1 - 1,21
0,9 - 0,81
0,99 - 0,9801

Вычисляем средние скорости для каждого из выбранных промежутков:

0,9-1 секунд
v = (1-0,81)/(1-0,9) = 0,19/0,1 = 1,9 м/с

1-1,1 секунд
v = (1,21-1)/(1,1-1) = 0,21/0,1 = 2,1 м/с

0,99-1 секунд
v = (1-0,9801)/(1-0,99) = 0,0199/0,01 = 1,99 м/с

1-1,01 секунд
v = (1,0201-1)/(1,01-1) = 0,0201/0,01 = 2,01 м/с

Теперь берем "зеркальные" промежутки времени "влево" и "вправо" от 1 секунды, и вычисляем среднее арифметическое:

0,9-1 и 1-1,1
(1,9+2,1)/2 = 2 м/с

0,99-1 и 1-1,01
(1,99+2,01)/2 = 2 м/с

Поздравляю, мы вплотную подошли к определению производной (см. Производная функции).

В начало страницы