Кинематика материальной точки
Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами, обусловливающими это движение.
Всякое движение относительно, так как понятие перемещение в пространстве или движение имеет строго определенное содержание только при указании, относительно каких именно тел перемещается рассматриваемый объект.
Совокупность тела или системы тел, условно принятых за неподвижные, относительно которых определяется положение остальных тел, и прибора для отсчета времени (синхронизированных часов) называется пространственно-временной системой отсчета.
Для того, чтобы иметь возможность изучать конкретные движения тел, необходимо зафиксировать некоторую точку тела, принятого условно за неподвижное, то есть выбрать так называемое начало отсчета, относительно которого и будет производиться отсчет положения движущихся тел. Далее, для определения положения данного тела относительно начала отсчета необходимо выбрать масштаб отсчета расстояний и направления отчета положения. Обычно для этого пользуются тремя взаимно перпендикулярными осями декартовых координат или так называемыми обобщенными криволинейными координатами, к числу которых относятся полярные, цилиндрические и сферические системы координат. Часто выбор системы координат определяется постановкой самой задачи. Например, при изучении движения жидкости по цилиндрической трубе наиболее удобными оказываются цилиндрические координаты, в случае исследования обтекания сферы жидкостью или газом - сферические.
Наконец, поскольку движение тел совершается с течением времени, то для его описания необходимо выбрать начало отсчета времени и масштаб времени.
Итак, элементами системы отсчета, необходимыми для описания движений, являются: начало отсчета, масштабы отсчета расстояний, три направления отсчета положения тел, начало отсчета времени, масштаб времени.
Очевидно, что одно и то же движение в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга, будет выглядеть по-разному. Так, скорость, ускорение, направление и траектория движения пассажира, идущего от передней к задней стенке вагона, ускоренно движущегося по криволинейному железнодорожному пути, будут различными, если это движение рассматривать в системах отсчета, связанных: а) с движущимся вагоном; б) с Землей; в) с Солнцем и т.д.
Кинематические уравнения движения
Рис. 1.1
Если с выбранными телами отсчета мы связали какую-либо систему координат, то движение тела можно изучать относительно этой системы координат.
Для определения положения тела в пространстве обычно пользуются декартовой системой координат x,y,z (рис. 1.1).
Положение точки M относительно системы отсчета можно задать с помощью трех ее декартовых координат x,y,z представляющими собой расстояния от этой точки до координатных плоскостей yz, zx, xy соответственно.
Три координаты x,y,z можно объединить в один направленный отрезок или радиус-вектор r, проведенный из начала координат в рассматриваемую точку. Координаты x,y,z являются его проекциями на координатные оси, а потому
(1.1)где i,j,k - координатные орты, то есть единичные векторы, направленные вдоль положительного направления координатных осей x,y,z соответственно, то есть
Геометрически вектор представляется диагональю параллелепипеда, построенного на трех взаимно перпендикулярных векторах rx=xi, ry=yj, rz=zk и по величине (по модулю) равен
(1.2)Будем пользоваться правой координатной системой, различать которую можно с помощью правила буравчика. Ввинчивая буравчик с правой нарезкой, вращая его ручку в плоскости xy кратчайшим путем от положительного конца оси x к положительному концу оси y, получим поступательное перемещение буравчика, совпадающее с положительным направлением оси z.
Движение точки будет описано полностью, если будет известно ее положение в любой момент времени относительно выбранной системы отсчета.
При движении материальной точки M ее координаты z,y,z и радиус-вектор r изменяются с течением времени t. В механике время считается аргументом, то есть независимым переменным, поэтому для задания закона движения материальной точки необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех ее трех координат от времени
(1.3)либо зависимость от времени ее радиус-вектора
r = r(t) (1.4)
Уравнения (1.3) и (1.4) называют кинематическими уравнениями движения материальной точки.
Геометрическое место точек концов радиус-вектора r называют траекторией точки M. Уравнения движения задают траекторию точки в параметрической форме. Роль параметра играет время t. Если надо получить уравнение траектории из кинематических уравнений движения исключают время, получая уравнение траектории, указывающее связь между тремя координатами любой точки.
