Тригонометрические формулы сложения
Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и синуса второго угла на косинус первого:
sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
Синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла (уменьшаемого) на косинус второго (вычитаемого) и синуса второго угла (вычитаемого) на косинус первого угла (уменьшаемого).
sin(α-β) = sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)
Косинус суммы двух углов равен разности произведений косинуса первого угла (первое слагаемое) на косинус второго угла (второе слагаемое) и синуса первого угла на синус второго угла:
cos(α+β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)
Косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов и синусов этих углов:
cos(α-β) = cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)
Формулы тангенсов и котангенсов сумм и разностей углов:
tg(α+β) = (tg(α)+tg(β))/(1-tg(α)tg(β)) tg(α-β) = (tg(α)-tg(β))/(1+tg(α)tg(β)) ctg(α+β) = (ctg(α)ctg(β)-1)/(ctg(α)+ctg(β)) ctg(α-β) = (ctg(α)ctg(β)+1)/(ctg(α)-ctg(β))
Пример 1
Задача: Вычислить, зная значения тригонометрических функций стандартных углов (0°, 30°, 45°, 60° 90°) cos(1,5π).
Решение:
cos(1,5π) = cos(π+π/2) cos(π)cos(π/2)-sin(π)sin(π/2) 1·0 - 0·1 = 0
Пример 2
Задача: Упростить следующее выражение:
cos(π/4+α)sin(π/4+α)-sin(π/4+α)sin(π/4-α)
Решение: Данное выражение очень похоже на косинус суммы углов:
cos(α+β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)
Единственное отличие заключается в том, что в первом произведении вместо косинуса стоит синус, но это можно "исправить" с помощью формул приведения:
cos(π/2-α)=sin(α) следовательно: sin(π/4+α)=cos(π/2-(π/4+α))=cos(π/4-α)
Теперь можно упростить выражение. подставив вместо синуса приведенный косинус:
cos(π/4+α)cos(π/4-α)-sin(π/4+α)sin(π/4-α)
Получаем правую часть формулы косинуса разности углов:
cos((π4+α)+(π/4-α)) = cos(π/2) = 0.
Пример 3
Задача: Найти ctg(75°).
Решение:
ctg(75°)=ctg(45°+30°) ctg(α+β) = (ctg(α)ctg(β)-1)/(ctg(α)+ctg(β)) ctg(45°+30°)=(ctg(45°)ctg(30°)-1)/(ctg(45°)+ctg(30°)) ctg(75°)=(1·√3-1)/(1+√3)
