Решение логарифмических уравнений
Логарифмом числа называют степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить подлогарифмичесое выражение.
Простейшее логарифмическое уравнение и его решение имеет вид:
logax=b x=ab
Такое логарифмическое уравнение может иметь только одно решение.
Пример 1
Начнем с азов:
log2x=3 x=23=8
При решении логарифмических уравнений часто пользуются свойствами логарифмов, которые надо знать:
- логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:
logaxy=logax + logay
- логарифм дроби равен разности логарифмов делимого и делителя:
loga(x/y)=logax - logay
- логарим степени равен произведению показателя степени на логарифм основания:
logaxy=y·logax
Решим уравнение посложнее:
Пример 2
log2(x2-3x+10)=3 (x2-3x+10)=23 (x2-3x+10)=8 (x2-3x+2)=0
Решая квадратное уравнение получим два корня, которые и будут решением исходного логарифмического уравнения:
x1=1 x2=2
Часто при решении логарифмических уравнений логарифм присутствует в обеих частях уравнения:
logax=logay
Логарифмические уравнения подобного типа решаются с помощью системы уравнений:
x=y x>0 y>0
Первое уравнение отражает условие, что, если равны логарифмы по одинаковому основанию, то равны и подлагирфмические выражения. Второе и третье неравенства верны, поскольку подлогарифмическая функция определна только на множестве положительных чисел (подлогарифмическое выражение может быть только положительным).
Пример 3
log2(x+5)=log2(2x-1) (x+5)=(2x-1) x+5>0 2x-1>0 x=6 x>-5 x>1/2
Найденный корень уравнения (число 6) удовлетворяет двум условиям (число 6 больше -5 и больше 1/2), поэтому, число 6 является решением исходного логарифмического уравнения.
В случае, если найденный корень не удовлетворяет хотя бы одному из условий - такое логарифмическое уравнение не будет иметь решений.
ВАЖНО! Найденный корень (корни) логарифмического уравнения всегда следует подставлять в подлогарифмическое выражение и проверять будет ли оно положительным, если это не так, то уравнение не имеет решения.
Пример 4
lg(x+1)+lg(x-1)=1 lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x+1)(x-1) lg(x+1)(x-1)=1 (x+1)(x-1)=101 x2-1=10 x1,2=±√11
Чтобы установить, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению, решим систему из двух неравенств:
(x+1)>0 (x-1)>0 x>-1 x>1
Такому условию удовлетворяет только корень √11, который и будет являться решением исходного логарифмического уравнения.
Пример 5
Напоследок приведем пример решения логарифмического уравнения, в котором присутствуют логарифмы с разными основаниями:
log2x+logx4=0
При решении логарифмических уравнений с разными основаниями пользуются формулой перехода от одного основания логарифма к другому:
logyx=(logax)/(logay)
Используем данное свойство для решения исходного уравнения. Перейдем к логарифму с основанием 2:
log2x-logx4=0 logx4=(log24)/(log2x)=2/(log2x) log2x-2/(log2x)=0 (log2x)2-2=0 (log2x)2=2 log2x=±√2 x1=2√2 x2=2-√2
