Арифметический квадратный корень
В математике каждое действие имеет своего "антипода", таковым у сложения является вычитание, у умножения - деление. "Антиподом" возведения в степень является извлечение корня из числа.
Так, если к 3 прибавить 2, то получится 5, а если из 5 вычесть те же 2, то получим исходную 3. То же самое получится, если 3 умножить на 2, а потом результат умножения (6) разделить на 2. Если 3 возвести во вторую степень - получим 9, чтобы получить обратно из девяти тройку, необходимо извлечь из 9 квадратный корень.
Арифметическим квадратным корнем из числа А называется такое число m, что: m2=A, при этом m≥0.
Извлечение корня из числа обозначается значком √:
√9 = 3
Поскольку выражения √A=m и А=m2 являются тождественными, то выражение √A = m имеет смысл только при m≥0, т.к. невозможно получить отрицательное число умножая его на самое себя.
Квадратный корень из произведения и дроби
Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей будет равен произведению корней из этих множителей:
A≥0; B≥0 √A·B = √A·√B √9·16 = √144 = 12 √9·16 = √9·√16 = 3·4 = 12
Квадратный корень из дроби, у которой числитель не отрицателен, а знаменатель положителен, будет равен дроби числитель которой равен корню квадратному из числителя, а знаменатель - корню квадратному из знаменателя:
A≥0; B>0 √A/B = √A/√B
Вынесение и внесение множителя из под знака корня
Правило вынесения множителя из под знака корня:
B>0 √(A2·B) = A√B √(4·9) = 2√9 = 2·3 = 6 √(4·9) = √36 = 6
Правило внесения множителя под знак корня:
|A|>0 A√B = √(A2·B)
Квадратный корень из степени
При любом значении А будет верно следующее равенство:
√A2 = |A| √52 = √25 = |5|
При любых положительных А и В (A≠B):
если A<B,то и √A<√B если A>B,то и √A>√B 9<16, то √9<√16; 3<4
Арифметический корень натуральной степени
Все вышесказанное относилось только к извлечению квадратного корня, т. е., действия, обратному возведению в квадрат (умножения числа на самое себя).
Однако, возводить можно не только в квадрат. Например, если число перемножить самое на себя три раза - это будет возведение в третью степень или куб; если число перемножить самое на себя 4 раза - это будет возведение в четвертую степень и т. д. Если число перемножить на самое себя n раз - это будет возведение числа в степень n:
A·A·A = A3 A·A·A·A = A4 A·A·..·A·A = An
Соответственно, можно извлекать не только квадратные корни, но любые корни из натуральной степени n.
Арифметическим корнем натуральной степени n≥2 из числа А≥0 называется такое число k, что: kn=A; k≥0.
Арифметический корень натуральной степени записывается точно так же, как и квадратный корень, но с обязательным указанием извлекаемой степени:
3√8 = 2
У четных и нечетных корней есть важное отличие - если у корня четной степени имеется два решения, то у корня нечетной степени - только одно:
3√8 = 2 3√-8 = -2 4√16 = ±2
Корнем нечетной степени из отрицательного числа (А<0) называется отрицательное число, противоположное арифметическому корню из модуля числа |A|.
Свойство арифметического корня
Свойство 1: Если A, B, n натуральные числа, при этом A≥0, B≥0, n>1, то:
n√AB = n√A·n√B
Свойство 2: Если A, B, n натуральные числа, при этом A≥0, B≥0, n>1, то:
n√(A/B) = n√A/n√B
Свойство 3: Если A,n натуральные числа, m - целое число при этом A>0, n>1, то:
(n√(A))m = n√Am (3√(8))2 = (2)2 = 4 (3√(8))2 = 3√(82) = 3√64 = 4
Свойство 4: Если A, m, n натуральные числа, при этом A>0, m>1, n>1, то:
m√(n√A) = m·n√A
Степень с целым показателем
Если А≠0, то при натуральном n:
A-n = 1/(An) 2-2 = 1/4
При любом А≠0:
A0 = 1 10,850 = 1
Степень с дробным показателем
Am/n = n√(Am)
- A - положительное число;
- m - целое число;
- n - натуральное число;
- m/n - простая дробь.
