Момент инерции протяженного объекта
Момент инерции достаточно легко вычислить для точечного объекта, если считать, что все точки объекта находятся на одинаковом расстоянии от точки вращения. Например, можно считать Землю точечным объектом, который движется по орбите вокруг Солнца, поскольку размер планеты намного меньше расстояния от Земли до Солнца - диаметр Земли - 12756 км; среднее расстояние от Земли до Солнца - 150 млн. км. (примерно 0,008%).
Формула для вычисления момента инерции точечного объекта имеет вид:
I = m·r2
r - расстояние, на котором от центра вращения сосредоточена вся масса объекта m.
В прикладных задачах куда чаще встречается ситуация, когда объект, для которого необходимо вычислить момент инерции, не является точечным, например, стержень, вращающийся вокруг одного из своих концов. У такого стержня масса распределена по всей его длине. Как быть в таком случае?Для определения момента инерции протяженных объектов проводят суммирование моментов инерции всех его материальных точек:
I = Σm·r2 = m(r12+r22+..+rn2)
Конечно же, в реальной жизни инженеру невозможно вычислить все множество материальных точек, из которых состоит объект, и вычислить момент инерции для каждой такой точки. Современная физика уже сделала эту работу, вычислив моменты инерции для многих объектов, имеющих стандартную форму. Ниже приведены несколько формул для вычисления моментов инерции некоторых стандартных объектов:
- I=m·r2 - обруч радиуса r, который вращается относительно своего центра в плоскости обруча; полый цилиндр радиуса r, который вращается относительно своей оси.
- I=1/3·m·r2 - стержень длиной r, который вращается относительно оси, расположенной у одного конца стержня и ориентирован перпендикулярно стержню.
- I=1/2·m·r2 - диск радиусом r, который вращается относительно своего центра в плоскости диска; сплошной цилиндр радиусом r, который вращается вокруг своей оси.
- I=2/3·m·r2 - полая сфера радиусом r, которая вращается относительно своей оси.
- I=2/5·m·r2 - сплошная сфера радиусом r, которая вращается относительно своей оси.
На конкретных несложных примерах покажем порядок расчета моментов инерции для объектов с простой геометрией.
Раскрутка компакт-диска
Те, кто знаком с компьютерной техникой, должны знать, что компакт-диски вращаются с различными угловыми скоростями, обеспечивая, тем самым, постоянную линейную скорость записи-считывания информации с диска, которая расположена на различных дорожках, находящихся на разных расстояниях от центра диска.
Исходные данные:
- Масса компакт-диска - 30 г;
- Диаметр диска - 12 см;
- В начальный момент времени диск вращается с угловой скоростью 100 об/мин;
- Через 10 минут скорость диска увеличивается до 500 об/мин.
- Задача: вычислить средний момент сил, необходимый для увеличения скорости компакт-диска.
Формула связи момента сил и углового ускорения:
M = I·α
Формула расчета момента инерции диска с радиусом r, который вращается относительно своего центра в плоскости диска (см. выше):
I=1/2·m·r2
Подставляем числовые значения:
I = 1/2·(0,03)·(0,06)2 = 5,4·10-5 кг·м2
Определяем угловое ускорение:
α = Δω/Δt = (ω1-ω0)/Δt
- Δt = 10 мин = 600 с
- ω0 - начальная скорость компакт диска = 100·2π = 628 с-1
- ω1 - конечная скорость компакт диска = 500·2π = 3140 с-1
Подставляем числовые значения в формулы:
α = (3140-628)/600 = 4,18 с-2 М = (5,4·10-5)·(4,18) = 2,2572·10-4 Н·м
Рассчитаем теперь силу, необходимую для создания такого момента, при условии, что она будет приложена к краю компакт-диска:
F=M/r=(2,2572·10-4)/(0,06) = 3,762·10-3 Н
