Признак делимости на 2, 5, 10
В некоторых случаях надо знать, делится то или иное число нацело на определенный делитель. Если делимое и делитель числа маленькие, то, как правило, такая задача не составляет труда. Другое дело, если делимое является числом большим.
В значительной мере облегчают такую задачу признаки делимости чисел.
Начнем с элементарного - на 1 делится без остатка любое натуральное число!
Наиболее простым и очевидным является признак делимости на 2 - на 2 без остатка делятся все четные числа. В свою очередь, все числа, заканчивающиеся на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8) являются четными. Таким образом, если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 - оно без остатка делится на 2.
Признак делимости на 5: на 5 без остатка делится число, оканчивающееся на 5 или 0.
Признак делимости на 10: на 10 без остатка делится число, оканчивающееся на 0.
Признак делимости на 3 и 9
Если делимость на 2, 5 и 10 устанавливают по последней цифре делимого, то делимость на 3 и 9 устанавливают по сумме всех цифр делимого.
Признак делимости на 3: 6сли сумма всех цифр числа делится без остатка на 3, то и само число будет без остатка делится на 3.
273; 2+7+3 = 12; 12:3 = 4; 273:3 = 91.
В том случае, если число очень большое, и сумма всех его цифр получается также большим числом, то складывают цифры уже в сумме полученных цифр числа.
Например:
789 987 777 888 999 101
Сумма цифр такого числа будет равна 122. Делится ли 122 на 3 без остатка так сразу и не скажешь, поэтому, складываем цифры в числе 122 - получаем 5. 5 на 3 не делится без остатка, значит и наше исходное число также не делится на 3 без остатка.
Признак делимости на 9: если сумма всех цифр числа делится без остатка на 9, то и само число будет без остатка делится на 9.
981; 9+8+1 = 18:9 = 2; 981:9 = 109.
Мы рассказали признаки делимости на числа: 1, 2, 3, 5, 9, 10.
Из первого десятка остались числа: 4, 6, 7, 8.
Признаки делимости на эти числа не так очевидны, но они имеются и о них полезно знать.
Признак делимости на 4
Признак делимости на 4: число без остатка делится на 4 в том случае, если без остатка на 4 делится число, составленное из двух последних цифр исходного числа, при этом такое число должно быть четным.
Например:
- 588 делится без остатка на 4, т.к. 88 делится на 4 без остатка;
- 489022 не делится без остатка на 4, т.к., 22 не делится без остатка на 4;
- 9909080 делится без остатка на 4, т.к. 80 делится без остатка на 4;
- 344503043 не делится без остатка на 4, т.к., это нечетное число.
Признак делимости на 8
Число делится без остатка на 8 в том случае, если без остатка на 8 делится число, составленное из трех последних цифр исходного числа, при этом такое число должно быть четным.
- 48008 - делится нацело на 8, т.к., 008 (или просто 8) делится нацело на 8;
- 480011 - не делится нацело на 8, т.к., это нечентое число;
- 480980998 - не делится нацело на 8, т.к., 998 не делится нацело на 8.
Признак делимости на 6
Число на 6 делится без остатка, если оно является четным и сумма его цифр делится на 3.
- 4800039 не делится без остатка на 6, т.к., это нечетное число;
- 4800040 не делится без остатка на 6, т.к., сумма цифр числа =16, а 16 не делится на 3 без остатка;
- 4800042 делится без остатка на 6, т.к., число четное и сумма цифр числа =18, и 18 делится нацело на 3.
Признак делимости на 7
Это самый неочевидный признак делимости из всех чисел первой десятки, который труднее всего запомнить, но о нем полезно знать.
Признак делимости на 7 достаточно сложно сформулировать, но, попробуем.
Чтобы узнать, делится ли число на 7 нацело, следует многозначное число разбить на две части, отделив три его последние цифры. Из получившихся двух чисел следует от большего отнять меньшее, если полученная разность будет нацело делиться на 7, то и само исходное число будет делиться без остатка на 7.
Например:
14284 14 и 284 284-14=270
270 не делится нацело на 7, поэтому, и 14284 не делится нацело на 7.
14294 14 и 294 294-14=280
280 делится нацело на 7 (280:7=40), поэтому, и 14294 делится нацело на 7.
В случае, если число слишком большое, признак делимости на 7 следует применить несколько раз:
445995285111 445995285 111 445995285-111=7445990174 445995 174 445995-174=7445821 445821 445 821 821-445=376
376 не делится нацело на 7, значит, и исходное число не делится нацело на 7.
