Что такое геометрическая прогрессия
Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если каждый ее последующий член получается путем умножения текущего на какое-то действительное число, называемое знаменателем геометрической прогрессии, при этом такой числовой ряд не должен быть нулевым.
Реккурентная формула геометрической прогрессии имеет следующий вид:
bn+1=bn·q
- bn - энный член геометрической прогрессии (bn≠0);
- bn+1 - член геометрической прогрессии, следующий за энным;
- q - знаменатель геометрической прогрессии (q≠0).
Знаменатель геометрической прогрессии является частным стоящих рядом членов этой прогрессии:
q=bn-1/bn=bn/bn+1...
Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое его предыдущего и последующего членов:
bn=√(bn-1·bn+1)
Зная первый член геометрической прогрессии и ее знаменатель, можно найти любой член этой прогрессии:
bn=b1·qn-1Формулы для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии:
Sn=(bnq-b1)/(q-1), если q>1 Sn=(b1-bnq)/(1-q), если q<1
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей если модуль ее знаменателя меньше единицы, а число членов - бесконечное.
Например, при q=0,1 геометрическая прогрессия, первым членом которой является, например, 100, будет иметь следующий вид:
100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001...
Члены такой бесконечной геометричиской прогрессии будут уменьшаться, но всегда будут оставаться положительными, т. е., больше 0.
Найти сумму любого бесконечного ряда невозможно. Однако, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия имеет свою характерную особенность, которая заключается в том, что существует некое число, к которому бесконечно убываюая геометрическая прогрессия будет стремиться, но никогда не достигнет его.
Такое число называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S=b1/(1-q)
Например, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, указанной выше, будет равна:
S=100/(1-0,1)=100/0,9=111,(1)=1111/9
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии всегда будет являться бесконечной периодической десятичной дробью (см. Иррациональные числа).
