ГлавнаяМатематикаОдночлены и многочленыКвадратный корень

Математика - это просто!

ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
· Степень числа
· Одночлен
· Многочлен
· Разложение многочлена
· Умножение-деление многочленов
· Разность квадратов
· Квадрат суммы-разности
· Сумма и разность кубов
· Квадратный корень
· Иррациональные и комплексные числа
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ

Онлайн тесты по ЕГЭ

Арифметический квадратный корень


В математике каждое действие имеет своего "антипода", таковым у сложения является вычитание, у умножения - деление. "Антиподом" возведения в степень является извлечение корня из числа.

Так, если к 3 прибавить 2, то получится 5, а если из 5 вычесть те же 2, то получим исходную 3. То же самое получится, если 3 умножить на 2, а потом результат умножения (6) разделить на 2. Если 3 возвести во вторую степень - получим 9, чтобы получить обратно из девяти тройку, необходимо извлечь из 9 квадратный корень.

Арифметическим квадратным корнем из числа А называется такое число m, что: m2=A, при этом m≥0.

Извлечение корня из числа обозначается значком :

√9 = 3

Поскольку выражения √A=m и А=m2 являются тождественными, то выражение √A = m имеет смысл только при m≥0, т.к. невозможно получить отрицательное число умножая его на самое себя.

Квадратный корень из произведения и дроби

Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей будет равен произведению корней из этих множителей:

A≥0; B≥0
√A·B = √A·√B
√9·16 = √144 = 12
√9·16 = √9·√16 = 3·4 = 12

Квадратный корень из дроби, у которой числитель не отрицателен, а знаменатель положителен, будет равен дроби числитель которой равен корню квадратному из числителя, а знаменатель - корню квадратному из знаменателя:

A≥0; B>0
√A/B = √A/√B

Вынесение и внесение множителя из под знака корня

Правило вынесения множителя из под знака корня:

B>0
√(A2·B) = A√B

√(4·9) = 2√9 = 2·3 = 6
√(4·9) = √36 = 6

Правило внесения множителя под знак корня:

|A|>0
A√B = √(A2·B)

Квадратный корень из степени

При любом значении А будет верно следующее равенство:

√A2 = |A|
√52 = √25 = |5|

При любых положительных А и В (A≠B):

если A<B,то и √A<√B
если A>B,то и √A>√B

9<16, то √9<√16; 3<4

Арифметический корень натуральной степени

Все вышесказанное относилось только к извлечению квадратного корня, т. е., действия, обратному возведению в квадрат (умножения числа на самое себя).

Однако, возводить можно не только в квадрат. Например, если число перемножить самое на себя три раза - это будет возведение в третью степень или куб; если число перемножить самое на себя 4 раза - это будет возведение в четвертую степень и т. д. Если число перемножить на самое себя n раз - это будет возведение числа в степень n:

A·A·A = A3
A·A·A·A = A4

A·A·..·A·A = An

Соответственно, можно извлекать не только квадратные корни, но любые корни из натуральной степени n.

Арифметическим корнем натуральной степени n≥2 из числа А≥0 называется такое число k, что: kn=A; k≥0.

Арифметический корень натуральной степени записывается точно так же, как и квадратный корень, но с обязательным указанием извлекаемой степени:

3√8 = 2

У четных и нечетных корней есть важное отличие - если у корня четной степени имеется два решения, то у корня нечетной степени - только одно:

3√8 = 2
3√-8 = -2
4√16 = ±2

Корнем нечетной степени из отрицательного числа (А<0) называется отрицательное число, противоположное арифметическому корню из модуля числа |A|.

Свойство арифметического корня

Свойство 1: Если A, B, n натуральные числа, при этом A≥0, B≥0, n>1, то:

n√AB = n√A·n√B

Свойство 2: Если A, B, n натуральные числа, при этом A≥0, B≥0, n>1, то:

n√(A/B) = n√A/n√B

Свойство 3: Если A,n натуральные числа, m - целое число при этом A>0, n>1, то:

(n√(A))m = n√Am
(3√(8))2 = (2)2 = 4
(3√(8))2 = 3√(82) = 3√64 = 4

Свойство 4: Если A, m, n натуральные числа, при этом A>0, m>1, n>1, то:

m√(n√A) = m·n√A

Степень с целым показателем

Если А≠0, то при натуральном n:

A-n = 1/(An)
2-2 = 1/4

При любом А≠0:

A0 = 1
10,850 = 1

Степень с дробным показателем

Am/n = n√(Am)
В начало страницы