Умножение и деление рациональных дробей
Рациональные дроби умножаются и делятся аналогично простым дробям (см. Умножение и деление простых дробей).
А/B · C/D = AC/BD А/B : C/D = А/B · D/C = AD/BC
Чтобы умножить одну рациональную дробь на другую рациональную дробь, необходимо перемножить отдельно числители и знаменатели этих дробей.
Для того, чтобы разделить одну рациональную дробь на другую рациональную дробь, необходимо дробь, выступающую в роли делителя, "перевернуть", поменяв местами ее числитель и знаменатель, после чего произвести умножение первой дроби на "перевернутую" вторую дробь, которая называется обратной дробью по отношению к исходной.
Выполняя умножение и деление рациональных дробей следует помнить о формулах с помощью которых можно упрощать рациональные дроби - это формулы распределительного свойства умножения относительно сложения, разности квадратов, квадратов суммы и разности, суммы и разности кубов:
(A+B)m = Am + Bm (A+B)(A-B) = A2 - B2 (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 (A-B)2 = A2 - 2AB + B2 A3+B3 = (A+B)(A2-AB+B2) A3-B3 = (A-B)(A2+AB+B2)
Пример деления-умножения рациональных дробей:
(B2-AB)/(A2+2AB+B2) : (A2-AB)/(A+B) (B2-AB)/(A2+2AB+B2) · (A+B)/(A2-AB) числитель: (B2-AB)·(A+B) знаменатель: (A2+2AB+B2)·(A2-AB)
Проведем преобразования, которые позволят упростить полученную дробь.
числитель: (B2-AB)·(A+B) = В(B-A)·(A+B) знаменатель: (A2+2AB+B2)·(A2-AB) = (A2+2AB+B2)·(-А)(В-А)
Сокращаем числитель и знаменатель на (В-А):
числитель: В(A+B) знаменатель: (-А)(A2+2AB+B2)
Выражение во вторых скобках знаменателя является квадратом суммы (А+В):
числитель: В(A+B) знаменатель: (-А)(A+В)2
Сокращаем на (А+В):
В/(-А)(A+В)
