Энергия и работа при вращательном движении
Формула вычисления работы для поступательного прямолинейного движения имеет вид: W = F·s (Н·м) или (Дж).
Для того, чтобы вывести аналогичную формулу для вращательного движения, необходимо силу F преобразовать в момент силы M, а перемещение s, в угол Θ
Пусть для вращения колеса, радиусом r, прикладывается сила F, как показано на рисунке ниже.
Чему будет равна работа этой силы?
Для вычисления работы применим формулу:
W = F·s
При вращательном движении перемещение s будет равно произведению радиуса колеса r на его угол поворота Θ:
s = r·Θ W = F·s = F·r·Θ
Момент М, создаваемой силой F, вычисляется по формуле:
M = F·r
Таким образом, работа будет равна:
W = F·r·Θ = M·Θ Дж
Мы получили формулу вычисления работы для вращательного движения (угол поворота должен быть указан в радианах) - это произведение момента силы на угол поворота.
Вычислим работу, которую совершит колесо автомобиля после 10 оборотов, при условии, что к нему был приложен постоянный момент силы в 100 Н·м:
W = 100·10·2π = 6,28·103 Дж
Кинетическая энергия вращательного движения
Кинетическая энергия объекта, массой m, движущегося поступательно со скоростью v, вычисляется по формуле: K = 1/2·(m·V2).
Для получения формулы вычисления кинетической энергии для вращательного движения необходимо заменить массу тела m на момент инерции I, а скорость v на угловую скорость ω.
Формула связи тангенциальной скорости v и угловой скорости ω выглядит следующим образом (подробнее смотри "Параметры вращательного движения"):
v = r·ω
Подставим это соотношение в предыдущую формулу:
K = 1/2·m(r·ω)2
Следует сказать, что данная формула расчета кинетической энергии подходит только для материальной точки.
Формула для вычисления кинетической энергии протяженного объекта будет выглядеть следующим образом:
K = 1/2·Σm(r·ω)2В случае, если все материальные точки протяженного объекта вращаются с одинаковой угловой скоростью, ее можно вынести за знак суммирования:
K = 1/2·ω2Σm·r2
Вспомним формулу момента инерции, и сделаем подстановку:
I = Σm·r2 K = 1/2·ω2Σm·r2 K = 1/2·ω2·I
Закрепим полученные теоретические знания на практике, решив интересную задачу.
Предположим, что по наклонной плоскости скатываются два цилиндра одинаковой массы - полый и цельный. Выясним, какой из этих цилиндров скатится быстрее, т.е. будет иметь бОльшую скорость в конце наклонной плоскости.
Решая задачи подобного типа, надо понимать, что, если бы цилиндры просто скользили вниз по наклонной плоскости без вращения, то их потенциальная энергия превращалась бы в кинетическую энергию поступательного движения:
m·g·h = 1/2·m·v2
В нашем случае, потенциальная энергия цилиндров превращается в кинетическую энергию, как поступательного, так и вращательного движения:
m·g·h = 1/2·m·v2 + 1/2·I·ω2
Поскольку угловая скорость вычисляется по формуле ω=v/r, получим следующее равенство, и выведем формулу для вычисления скорости движения цилиндров:
mgh = 1/2mv2 + 1/2I(v/r)2 = 1/2v2(m+I/r2) v = √[(2mgh)/(m+I/r2)]
Для обоих цилиндров все параметры в формуле одинаковы, за исключением момента инерции I (подробнее смотри "Момент инерции протяженного объекта"):
- для полого цилиндра: I=mr2;
- для цельного цилиндра: I=1/2mr2
Подставляем соответствующие значения для момента инерции в формулу вычисления скорости цилиндров, и проводим несложные алгебраические преобразования:
vп = √[(2mgh)/(m+(mr2)/r2)] = √[gh] vц = √[(2mgh)/(m+(1/2mr2)/r2)] = √[4gh/3]Соотношение скоростей цилиндров будет равно:
vп/vц = √[3/4] = 0,86
Таким образом, скорость полого цилиндра будет немного ниже, чем цельного, следовательно, цельный цилиндр быстрее скатится по наклонной плоскости.
С физической точки зрения данный факт объясняется достаточно просто. В полом цилиндре основная масса материальных точек сосредоточена на краю цилиндра (на расстоянии радиуса от его центра), в то время, как в цельном цилиндре материальные точки распределены равномерно по всему радиусу, т.е., при одинаковой угловой скорости в полом цилиндре количество материальных точек, обладающих высокой тангенциальной скоростью, будет больше, чем в цельном, поэтому, полому цилиндру понадобится потратить больше энергии на свой разгон.
