Система двух уравнений с двумя неизвестными
Системой двух уравнений с двумя неизвестными называют два совместно рассматриваемых уравнения, с одними и теми же неизвестными.
Решением системы уравнений с двумя неизвестными будет пара чисел, при подстановке которых в каждое из уравнений системы они превращаются в истинные равенства.
a1x+b1y = c1 a2x+b2y = c2
Например, решением следующей системы уравнений будут числа x=2; y=3:
5x+10y = 40 5x-2y = 4 5·2+10·3 = 10+30 = 40 5·2-2·3 = 10-6 = 4
Говорят, что пара чисел (2; 3) является решением рассматриваемой системы уравнений.
Следует понимать, что даже такие уравнения, как, например, x=2; y=3 можно рассматривать, как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Действительно:
1·x+0·y = 2 0x+1·y = 3
Другое дело, что такую систему и решать то не надо, ибо изначально известны переменные x и y. Но, такие представления надо знать и помнить, поскольку, в некоторых случаях они помогают найти решение более сложных систем уравнений.
Решать систему двух уравнений с двумя неизвестными можно несколькими способами.
Способ подстановки
Идея способа подстановки заключается в том, что в одном из уравнений одно неизвестное выражется через другое, после чего подставляется во второе уравнение, в котором получается только одно неизвестное.
Понять сие высказывание не так-то уж и просто, поэтому, лучше все продемонстрировать на простеньком примере.
5x+6y = 60 x-y = 1
Во втором уравнении выражаем одно неизвестное через другое:
5x+6y = 60 x = 1+y
Теперь у нас получилась новая система уравнений, в которой одно из уравнений перешло из исходной системы уравнений, а второе получено подстановкой в это уравнение неизвестного, выраженное через другое неизвестное:
5x+6y = 60 5(1+y)+6y = 60
Таким образом мы избавились во втором уравнении от неизвестного x:
5x+6y = 60 5+5y+6y = 60
Второе уравнение теперь представлено в виде 0x+b·y = c:
5x+6y = 60 5+11y = 60
Находим решение второго уравнения:
5x+6y = 60 11y = 60-5 = 55 (y=5)
Теперь осталось подставить числовое значение переменной y в первое уравнение и найти x:
5x+6(5) = 60 y=5 5x+30 = 60; 5х = 60-30 y=5 5х = 30 y=5 х=6 y=5
Получившуюся новую систему уравнений можно представить в виде двух уравнений с двумя неизвестными:
1·х+0y=6 0x+1·y=5
Поскольку все проводимые нами преобразования равенств были тождественными, исходная система уравнений будет равносильна финальной, а, значит, иметь те же корни (5;6), которые и будут являться решением исходной системы уравнений.
При решении системы двух уравнений с двумя неизвестными способом подстановки не имеет значения какое неизвестное выражать через другое - результат будет один и тот же.
Способ сложения
Идея решения остается неизменной - избавиться в одном из уравнений от одного из неизвестных. Путь достижения этой цели в способе сложения заключается в подборе коэффициентов, на которые надо умножить обе части уравнений, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных были одинаковы по модулю, но различны по знаку. После этого уравнения складываются и решается новая система уравнений, которая будет тождественна исходной, поскольку все проводимые операции тождественны.
5x+6y = 60 x-y = 1
Как и в первом случае, избавимся во втором уравнении от неизвестной y, для этого умножим обе части второго уравненя на 6:
5x+6y = 60 6x-6y = 6
Теперь складываем первое и второе уравнения, и получаем новую систему уравнений:
5x+6y = 60 11x = 66
В новой системе уравнений первое уравнения взято из исходной системы, а второе является суммой уравнений после выполненных преобразований. Дальнейший ход решения полностью аналогичен способу подстановки:
5x+6y = 60 x = 6 5(6)+6y = 60 x=6 30+6y = 60 x=6 6y = 60-30 x=6 y=5 x=6
Графический способ решения
Каждое из уравнений, входящих в систему, можно рассматривать как некую формулу, которая задает определенную функцию (понятие функции будет рассмотрено чуть позже).
Поскольку функция имеет свой график, задаваемый ее формулой, его можно построить на координатной плоскости.
Так как уравнения у нас линейные, то и график у линейной функции будет в виде прямой.
В результате мы получим две прямые, координаты точки пересечения которых и будут являться решением нашей системы уравнений.
Надо сказать, что к данному методу прибегают достаточно редко, поскольку он достаточно неудобен и зачастую дает приблизительные результаты.
