Решение уравнений, содержащих модуль числа
Понятие модуля числа рассмотрено на странице "Что такое модуль числа".
Здесь напомним только основные моменты:
- модуль числа - это расстояние от нулевой точки на числовой прямой до указанного в модуле числа;
- поскольку модуль числа является расстоянием, то модуль числа не может быть отрицательной величиной;
- знак "минус" перед числом означает, что рассматривается число, противоположное данному;
- числом, противоположным нулю, является сам нуль.
Пример 1
Решим уравнение |x-2|=-1.
Данное уравнение говорит нам о том, что расстояние от нуля на числовой прямой до точки (х-2) равно -1. Но, расстояние не может быть отрицательным, поэтому, данное уравнение не имеет решения.
Пример 2
Решим уравнение |x-2|=1.
Данное уравнение говорит нам о том, что расстояние от нуля на числовой прямой до точки (х-2) равно 1. Таких точек на числовой прямой две - это +1 и -1.
По этой причине будем решать два уравнения:
(x-2)=+1; x=3 (x-2)=-1; x=1
Ответ: Уравнение |x-2|=1 имеет два корня: 3 и 1.
Можно рассуждать от противного.
Числовое значение, заключенное в знак модуля, может быть либо отрицательным (меньше нуля), либо не отрицательным (больше нуля или равно нулю). Поэтому:
-(x-2)=1; -x+2=1; x=1 +(x-2)=1; x-2=1; x=3
Решение неравенств, содержащих модуль числа
В случае с неравенствами "возни" с модулями будет немного больше.
Решим неравенство |x-3|≤7.
Ход рассуждений при решении неравенств с модулями аналогичен алгоритму решения уравнений.
Выражение, стоящее под знаком модуля может быть либо отрицательным, либо не отрицательным.
В случае отрицательного варианта:
если (x-3)<0 то |x-3|=-(x-3)
Решаем систему из двух неравенств:
(x-3)<0 -(x-3)≤7 x<3 x≥-4 -4≤x<3
В случае не отрицательного варианта:
если (x-3)≥0 то |x-3|=+(x-3)
Решаем систему из двух неравенств:
(x-3)≥0 (x-3)≤7 x≥3 x≤10 3≤x≤10
Таким образом, полное решение исходного неравенства будет состоять из двух частей, которые надо объединить в целое:
-4≤x<3 3≤x≤10 -4≤x≤10
