Решение уравнения вида cos(x)=y
Все сказанное о решении уравнений вида sin(x)=y будет справедливо и для уравнений вида cos(x)=y.
Здесь повторим лишь основные моменты, не расписывая подробности.
Функция y=cos(x) имеет следующий вид:
График функции y=cos(x) полностью аналогичен графику функции y=sin(x) - это та же синусоида, которая сдвинута по оси х на (-π/2).
Функция y=cos(x) может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1.
Поэтому уравнение cos(x)=y не имеет решений при |y|>1.
Если |y|≤1, уравнение cos(x)=y имеет бесконечное множество решений.
На рисунке показано графическое решение уравнений cos(x)=-1 и cos(x)=-1/2.
Если взять диапазон значений аргумента x от 0 до +2π (что будет соответствовать одному полному обороту тригонометрического круга), то на этом участке уравнение cos(x)=-1 будет иметь одно решение π:
cos(x)=-1 x=arccos(-1)=π
Поскольку функция косинус является периодической с периодом в 2π, то полным решением уравнения cos(x)=-1 будет бесконечное множество углов, кратных 2π
x=π+2π·n n - целое число
Теперь рассмотрим случай, когда |y|<1.
График функции cos(x)=-1/2 на участке от 0 до 2π дважды пересекает график функции y=cos(x), а, значит, уравнение cos(x)=-1/2 на этом участке имеет два решения: (4/6)π и (8/6)π. Или: 2π/3 и (π+π/3).
cos(x)=-1/2 x=arccos(-1/2)=(π+π/3) x=(π+π/3)+2π·n x=arccos(-1/2)+2π·n
Но, поскольку cos α = cos (-α):
cos(-x)=-1/2 -x=arccos(-1/2) x=-arccos(-1/2)+2π·n
Обе эти формулы можно совместить в одной:
x=±arccos(-1/2)+2π·n x=±arccos(y)+2π·n n - целое число
Самая простая формула получается для случая y=0:
x=π/2·n n - целое число
