Математика - это просто!

УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА

· Алгебраические равенства
· Работа со скобками
· Уравнение с одним неизвестным
· Тождества
· Линейное уравнение
· Система из 2 уравнений
· Квадратное уравнение
· Теорема Виета
· Биквадратное уравнение
· Примеры решения задач
· Уравнение вида sin(x)=y
· Уравнение вида cos(x)=y
· Уравнение вида tg(x)=y; ctg(x)=y
· Показательные уравнения
· Логарифмические уравнения
НЕРАВЕНСТВА
· Числовые неравенства
· Сложение и умножение
· Решение неравенств
· Числовые промежутки
· Модуль числа
· Квадратные неравенства
· Тригонометрические неравенства
· Показательные неравенства
· Логарифмические неравенства

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

ДРОБИ

ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ

ФУНКЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЯ

ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестное находится в показателе степени.

Простейшее показательное уравнение имеет вид:

Ax = B
при этом:
A>0
A≠1

• При B≤0 уравнение A^x=B не имеет решений, т.к. A^x>0.
• При B>0 уравнение A^x=B имеет только одно решение.

Суть решения показательных уравнений заключается в умении представить B в виде A^y.

Пример 1

Начнем с простого: решим уравнение 5^x=125:

5x=125
5x=53
x=3

Пример 2

Усложним немного задачу:

53x=5√125
53x=53/5
3x=3/5
x=1/5

Пример 3

Пойдем еще дальше:

3n=1
где n=3x2+x-2

поскольку 1=10, то:
3x2+x-2=0

Решая квадратное уравнение получим два корня:
x1=-1
x2=2/3

Пример 4

Теперь вообще сложный на первый взгляд пример, который оказывается сложным только действительно на первый взгляд:

3x+5-80·3x+1=1/9
разложим уменьшаемое:
3x+5 = 3x+1·34
получим:
81·3x+1-80·3x+1=1/9
по распределительному закону:
(81-80)·3x+1=1/9
3x+1=3-2
x+1=-2
x=-3

Пример 5

Рассмотрим еще один пример решения показательного уравнения с оригинальным преобразованием:

4x-3·2x+2=0
преобразуем 4x:
4x=(22)x=22x=(2x)2
тогда:
(2x)2-3·2x+2=0

пусть: 2x = y
тогда:
y2-3y+2=0

корни квадратного уравнения:
y1=2x=1
y2=2x=2

x1=1
x2=√2

Пример 6

Теперь вообще озвереем и решим показательное уравнение, в котором невозможно представить число B в виде A^y:

24x+3=7

Такие уравнения решаются очень просто при помощи логарифмов. Для этого надо вспомнить определение логарифма, которое звучит следующим образом: Логарифм - это показатель степени в которую надо возвести основание, чтобы получить подлогарифмическое выражение:

Ax=B
x=logAB

В нашей задаче:

24x+3=7
(4x+3)=log27
4x=log27-3
x=(log27-3)/4

Пример 7

И на "закуску" решим вообще немыслимое по сложности показательное уравнение:

5x-1=34x

Показательные уравнения подобного типа решаются также с помощью логарифмов, при этом используется свойство, по которому логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания:

logxAB=B·logxA

Для решения уравнения можно брать логарифм с любым основанием. Мы возьмем десятичный логарифм.

Исходим из того, что, поскольку 5^x-1 равно 3^4x, то и логарифмы этих выражений будут также равны:

lg(5x-1)=lg(34x)

lg(5x-1)=(x-1)·lg5
lg(34x)=4x·lg3

(x-1)·lg5=4x·lg3
x·lg5-lg5=4x·lg3
x·lg5-4x·lg3=lg5
x(lg5-4·lg3)=lg5
x=lg5/(lg5-4·lg3)