Как решать показательные неравенства
Решение показательных неравенств вида y><ax основано на том факте, что при a>1, показательная функция является возрастающей, а при 0<a<1 - убывающей:
Суть решения простейших показательных неравенств сводится к приведению левой и правой части неравенства к одному основанию, после чего переходят к решению неравенства выражений, находящихся в степенях.
В качестве примера решим неравенство 2-5x+2>(4)1,5·x·x.
В правой части неравенства число 4 можно представить, как квадрат 2, тогда в обеих частях неравенства будут одинаковые основания. Поскольку основание (2) больше 1, то показательная функция будет возрастающей, и после перехода к степеням знак неравенства менять не нужно:
-5x+2>3x2 -3x2-5x+2>0
Решая квадратное неравенство, получим две точки пересечения параболой оси абсцисс: x1=-2; x2=1/3.
Поскольку в квадратном уравнении коэффициент а отрицателен - ветви параболы направлены вниз (см. График квадратичной функции). Поэтому, промежуток, при которых значения квадратичной функции положительны, будут лежать между точками x1 и x2.
Ответ: -2<x<1/3.
Если бы в приведенном выше примере основание было меньше 1, например: 0,5-5x+2>(0,25)1,5·x·x, то квадратичное неравенство, которое следовало бы нам решать, меняло знак на противоположный:
-5x+2<3x2 -3x2-5x+2<0
Ответ включал бы два промежутка: от -∞ до -2 и от 1/3 до +∞.
