ГлавнаяМатематикаЧисловые неравенстваМодуль числа

Математика - это просто!

УРАВНЕНИЯ и ТОЖДЕСТВА
· Алгебраические равенства
· Работа со скобками
· Уравнение с одним неизвестным
· Тождества
· Линейное уравнение
· Система из 2 уравнений
· Квадратное уравнение
· Теорема Виета
· Биквадратное уравнение
· Примеры решения задач
· Уравнение вида sin(x)=y
· Уравнение вида cos(x)=y
· Уравнение вида tg(x)=y; ctg(x)=y
· Показательные уравнения
· Логарифмические уравнения
НЕРАВЕНСТВА
· Числовые неравенства
· Сложение и умножение
· Решение неравенств
· Числовые промежутки
· Модуль числа
· Квадратные неравенства
· Тригонометрические неравенства
· Показательные неравенства
· Логарифмические неравенства
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДРОБИ
ОДНОЧЛЕНЫ и МНОГОЧЛЕНЫ
ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЯ

Онлайн тесты по ЕГЭ

Решение уравнений, содержащих модуль числа


Понятие модуля числа рассмотрено на странице "Что такое модуль числа".

Здесь напомним только основные моменты:

Пример 1

Решим уравнение |x-2|=-1.

Данное уравнение говорит нам о том, что расстояние от нуля на числовой прямой до точки (х-2) равно -1. Но, расстояние не может быть отрицательным, поэтому, данное уравнение не имеет решения.

Пример 2

Решим уравнение |x-2|=1.

Данное уравнение говорит нам о том, что расстояние от нуля на числовой прямой до точки (х-2) равно 1. Таких точек на числовой прямой две - это +1 и -1.

По этой причине будем решать два уравнения:

(x-2)=+1; x=3
(x-2)=-1; x=1

Ответ: Уравнение |x-2|=1 имеет два корня: 3 и 1.

Можно рассуждать от противного.

Числовое значение, заключенное в знак модуля, может быть либо отрицательным (меньше нуля), либо не отрицательным (больше нуля или равно нулю). Поэтому:

-(x-2)=1; -x+2=1; x=1
+(x-2)=1; x-2=1; x=3

Решение неравенств, содержащих модуль числа

В случае с неравенствами "возни" с модулями будет немного больше.

Решим неравенство |x-3|≤7.

Ход рассуждений при решении неравенств с модулями аналогичен алгоритму решения уравнений.

Выражение, стоящее под знаком модуля может быть либо отрицательным, либо не отрицательным.

В случае отрицательного варианта:

если (x-3)<0
то
|x-3|=-(x-3)

Решаем систему из двух неравенств:

(x-3)<0
-(x-3)≤7

x<3
x≥-4

-4≤x<3

В случае не отрицательного варианта:

если (x-3)≥0
то
|x-3|=+(x-3)

Решаем систему из двух неравенств:

(x-3)≥0
(x-3)≤7

x≥3
x≤10

3≤x≤10

Таким образом, полное решение исходного неравенства будет состоять из двух частей, которые надо объединить в целое:

-4≤x<3
3≤x≤10

-4≤x≤10
В начало страницы